2022-2023学年人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数同步练习 （含解析）

人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 单元自测题
一、单选题
1．的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
3．在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
4．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．下列三角函数的值是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知是锐角，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，点C、D在上，且在两侧，于点H交线段于E.若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为，那么滑梯的高h的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知为锐角，且，则锐角的度数是　 　.
12．如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则cosA的值为　 　．
13．如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为　 　.
14．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①CEF∽ACD；②=2；③sin∠CAD=；④AB=BF.其中正确的结论有　 　（写出所有正确结论的序号）.
三、计算题
15．计算：
16．计算
四、解答题
17．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳市文昌古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退12米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（结果保留根号）.
18．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小伟同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼，该小区外围道路近似为如图所示的四边形ABCD，已知四边形ADCE是边长为150米的正方形（点E在边BC上），，小伟同学每天沿四边形ABCD晨跑1圈，求小伟同学每天晨跑的总路程．
19．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证：△ABM∽△EMA.
②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值.
20．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长.（结果精确到0.1米.参考数据：）
五、综合题
21．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．(结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，)
22．如图，⊙是的外接圆，点在延长线上，且满足.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若是的平分线，，，求⊙的半径.
23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由，，得
，.
.
则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠B=45°，∠C=45°，根据三角形的内角和定理可得∠A=90°，从而即可得出结论.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：
则，
，，
的正切值；
故答案为：D.
【分析】延长CB交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠ACB的正切值.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A．，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．，是无理数，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据特殊角三角函数值分别求出各项的值，再根据无理数的定义判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
解得，
故答案为：A．
【分析】由可得，利用特殊角三角函数值可得，继而得解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在中，，
，
故答案为：C．
【分析】由∠A+∠B=90°，可得sinA=cosB，继而得解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∴
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得
连接
∵为直径，
∴，而，
∴，
∴，
∴，而，
解得（负根舍去）
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据三角函数的概念可设AC=4x，则AB=5x，BC=3x，CB=CE=3x，AE=x，证明△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AH，连接BD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，证明△ADH∽△ABD，然后根据相似三角形的性质进行计算.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知，
∴.
故答案为：D.
【分析】直接根据三角函数的概念进行解答.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
11．【答案】40°
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
则
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α-10°=30°，求解可得α的度数.
12．【答案】
【解析】【解答】根据勾股定理可求出，
∴．
故答案为：．
【分析】由勾股定理可求AB的长，再根据余弦函数的定义求解即可.
13．【答案】4
【解析】【解答】解：连接，交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AB=BC=5，AC⊥BD，AO=CO=3，AD∥BC，利用勾股定理可得BO=4，易证△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可得CF的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∵CE=BC=AD，
∴=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2，得DF=a，AD=a
∴sin∠CAD=，故③错误.
连接AE，
∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAC=∠ECF，然后根据相似三角形的判定定理判断①；易证△CEF∽△ADF，根据相似三角形的性质可判断②；设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2得DF=a，由勾股定理可得AD=a，然后根据三角函数的概念可判断③；连接AE， 则A、B、E、F四点共圆，∠AFB=∠AEB，证明△ABE≌△CDE，得到∠AEB=∠CED，由同角的补角相等可得∠BAF=∠CED，则∠BAF=∠BFA，据此判断④.
15．【答案】解：原式
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式= ，据此计算.
16．【答案】解：原式-1+ +9+1=
【解析】【分析】利用有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
17．【答案】解：根据题意得，，，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
解得.
答：古塔的高为.
【解析】【分析】根据题意得∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m，易得△ABD为等腰直角三角形，则AB=BD，根据三角函数的概念可得BC=BD，然后根据BC-AB=AC就可求出BD的值.
18．【答案】解：∵四边形ADCE是边长为150米的正方形，
∴AD=AE=CE=CD=150米，∠AEB=∠AEC=90°，
∴△ABE为直角三角形．
∵，
∴，
∴BE=200米，
∴米，
∴（米），
即小伟同学每天晨跑的总路程为900米．
【解析】【分析】根据正方形的性质得：AD=AE=CE=CD=150米，∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，根据正切三角函数的定义结合 可求出BE的长，然后根据勾股定理算出AB的长，最后根据四边形周长的计算方法即可算出答案.
19．【答案】解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
②解：∵△ABM∽△EMA，
∴∠E＝∠BAM，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴sin∠BAM＝，
∴sinE＝.
【解析】【分析】①根据矩形的性质可得∠B＝90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
②根据相似三角形的性质可得∠E＝∠BAM，利用勾股定理可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.
20．【答案】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
则AC=AB sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
则CD=≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的长约为1.9米.
【解析】【分析】 根据三角函数的概念可得AC、BC、CD的值，然后根据BD=CD-BC进行计算.
21．【答案】（1）解：根据题意可知：
， ， ， 米，
在 中， 米 ，
在 中， 米 ，
米 ．
答：测温区域的宽度 为2.2米；
（2）解：根据题意可知：
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 米，
米 ．
答：该设备的安装高度OC 约为1.84米．
【解析】【分析】（1）在Rt△OBC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出BC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出AC，进而根据AB=AC-BC算出答案；
（2）由题意得AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，由正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，从而即可建立方程，求解即可解决问题.
22．【答案】（1）证明：连接，与相交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵∠CAD＝∠B，
∴，
∴，，
在Rt中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设⊙的半径为，则，
在Rt中，
，
，
解得：.
【解析】【分析】（1） 连接OA、OC，OC与AB相交于点E， 由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍并结合已知得∠AOC=2∠CAD，由等腰三角形的两底角相等并结合三角形的内角和定理可得∠CAO+∠CAD=90°，从而根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义并结合已知得∠BAC=∠B，根据垂径定理得OC⊥AB，BE=AE，在Rt△BEC中，根据正弦函数的定义求出CE，进而利用勾股定理算出BE，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
23．【答案】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴
∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠BOD，
∴DO∥AC；
（2）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
又∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）解：∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝
设DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD＝2∠BAD，推出∠CAB＝∠BOD，从而根据同位角相等，两直线平行可得结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠DCB，结合∠CDE=∠ADC，可以证明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝，设DE＝a，则CD＝2a，而CD2＝DE DA，则AD＝4a，AE＝3a，故＝3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解．