第8章 整式乘法与因式分解（提高篇）-2022-2023学年七年级数学下册阶段性复习精选精练（沪科版）

第8章 整式乘法与因式分解（提高篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B． 、
C． D．
2．将多项式化简后不含项，则的值是( )
A． B． C． D．
3．若实数满足则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
4．下列运用平方差公式计算错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为（　　）
A．57 B．120 C． D．
6．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知一个多项式除以，得到的结果是，则此多项式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是（　　）
A． B． C． D．
9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．305010 B．501030 C．105030 D．301020
10．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
， ……
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ______
12．若，ab=2，则=_______．
13．已知，则的值为_________．
14．已知是一个完全平方式，则______．
15．整式A与m2－2mn＋n2的和是（m＋n)2，则A为_______．
16．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______．
17．魔术师发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数(a－1)(b－2)．现将数对(m，1)放入魔术盒中得到数n＋1.如果将数对(n－1，m)放入魔术盒中，那么最后得到的结果是________．(用含n的代数式表示)
18．利用1个的正方形，1个的正方形和2个的长方形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式___．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) ； (2) ．
20．（8分）计算：
(1) ； (2) ．
21．（10分）分解因式：
(1) (2)
22．（10分）先化简，再求值：
(1) 已知，求代数式的值．
(2) ，其中，．
23．（10分）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲： 乙：
（分成两组） （分成两组）
（直接提公因式） （直接运用公式）
． （再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）； （2）．
24．（12分）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
∴
∴
∴
∴
根据以上解题过程，试探究下列问题：
已知，求的值；
已知，求的值；
若，求的值．
参考答案
1．A
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
解：A、，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、无法分解因式，不合题意；
D、，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
2．A
【分析】先将题目的式子化简，然后根据将多项式化简后不含项，可知前面的系数为，从而可以计算出的值．
解：
，
∵将多项式化简后不含项，
∴，
解得．
故选：A．
【点拨】本题考查了多项式的加减，正确的去括号是解题的关键．
3．A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活应用公式．
4．D
【分析】根据平方差公式进行求解即可．
解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
5．D
【分析】根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题．
解：
，
∵，
∴原式．
故选：D．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法是解决本题的关键．
6．A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式判断并分解即可．
解：①，可以用平方差公式分解因式，故符合题意；
②不能用公式分解因式，故不符合题意；
③不能用公式分解因式，故不符合题意；
④不能用公式分解因式，故不符合题意；
⑤，不能用公式分解因式，故不符合题意；
⑥，能用完全平方公式分解因式，故符合题意；
共有2个能用公式法分解因式，
故选：A．
【点拨】此题考查了利用公式法分解因式，正确掌握平方差公式及完全平方公式分解因式是解题的关键．
7．B
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可．
解：∵设此多项式为，
则由题意得，
∴
，
故选B．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，正确的计算是解决本题的关键．
8．A
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出、、卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
解：长为，宽为的大长方形的面积为：
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
因此可知，拼成一个长为，宽为的大长方形，
需要块卡片，块卡片和块卡片．
故选：．
【点拨】本题考查了多项式乘法，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键．
9．D
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
解：∵
，
∵，，则各个因式的值为，，,
∴产生的密码不可能是，
故选：D．
【点拨】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
10．D
【分析】根据题中的规律即可求解．
解：由题意，，可知，展开式中第二项为，
∴展开式中含项的系数是2019，
故选D．
【点拨】本题考查了完全展开式，正确的理解是解决本题的关键．
11．##
【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．
解：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．9
【分析】利用完全平方公式即可得．
解：，，
，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式求值，熟记公式是解题关键．
13．4
【分析】根据平方差公式变形，将整体代入求值即可求解．
解：∵，
∴
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了代数式求值、平方差公式．利用了整体代入的思想．
14．或21##21或
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
解：∵是一个完全平方式，，
∴，
解得：或21．
故答案为：或21
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．4mn
【分析】已知两数的和与其中一个加数，求另一个加数，用减法计算即可．
解：由题意得，
，
故答案为：4mn．
【点拨】本题考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
16．18
【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．
解：∵代数式的值是7，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
17．4﹣n2##-n2+4
解：根据数对（m，1）放入其中得到数n+1得：（m﹣1）×（1﹣2）=n+1，即m=﹣n，
则将数对（n﹣1，m）放入其中后，结果为（n﹣1﹣1）（m﹣2）=（n﹣2）（﹣n﹣2）=4﹣n2．
故答案是4﹣n2．
18．
【分析】根据题意可知拼接后的图形的构成，是由1个的正方形，1个的正方形和2个的矩形构成的，所以这个图形的面积是这几个图形的面积之和；根据拼接后的图形是一个边长为的正方形，结合正方形的面积公式可求出该图形的面积．
解：根据面积计算公式可得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．
19．(1) x (2)
【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．
（1）解：
．
（2）
．
【点拨】本题考查的是整式的乘法运算，掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算法则，以及合并同类项是解本题的关键．
20．(1) (2)
【分析】（1）根据乘方公式先去括号，然后根据单项式的乘除法法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后按整式的加减法法则进行计算即可．
解：（1）
．
（2）
．
【点拨】本题考查了乘方公式、平方差公式、完全平方差公式以及整式的运算；熟练掌握公式、正确计算是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
22．(1) ，；(2) ，．
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式以及整式的运算，对式子进行化简，代入求解即可；
（2）根据整式的运算以及平方差公式进行化简，然后代入求解即可．
（1）解：
，
由可得，
代入原式可得：原式；
（2）解：
，
将，代入得，原式．
【点拨】此题考查了整式的化简求值，涉及了整式的四则运算、完全平方公式、平方差公式，解题的关键是熟练掌握整式的四则运算．
23．（1）；（2）
【分析】（1）将前两项和后两项分别分解因式，再进一步提取m-2分解因式，最后利用平方差公式再次分解因式即可；
（2）将前两项和最后一项合起来分解因式，再利用平方差公式分解因式．
解：（1）
．
（2）
．
【点拨】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的方法提公因式法和公式法并能结合题例掌握分组因式分解是解题关键．
24．(1) (2) ， (3)
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值；
（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b；
（3）先把代入，得到关于n和t的式子，再仿照（1）（2）题求解．
（1）解： ，
，
，
，，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，；
（3）解：，
，
，
，
，，
，，
，
．
中小学教育资源及组卷应用平台
【点拨】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幂等，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．