2022-2023学年人教B版（2019）必修四 第十一章立体几何初步 单元测试卷（含解析）

人教B版（2019）必修四 第十一章立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知正三棱锥的四个顶点都在球O上，的外接圆半径为1，三棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
2、已知四棱锥的体积是，底面ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
3、我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中有这样一题：今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何 其意思是：现有堤坝，下底长为2丈，上底长为8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤坝的体积是多少？下列选项中，与这段堤坝的体积最接近的是（注：一丈=十尺）( )
A.6800立方尺 B.7110立方尺 C.7117立方尺 D.7120立方尺
4、三棱锥中,平面BCD,.若,,则该三棱锥体积的最大值为( )
A.2 B. C.1 D.
5、在平面中,若正内切圆的面积为,内切圆与外接圆之间的圆环面积为,则.在空间中,若正四面体PABC内切球的体积为,内切球之外与外接球之内的几何体的体积为,则( )
A. B. C. D.
6、已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面ABC，，，，若该棱锥的体积为，则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
7、已知A,B为球O的球面上两点,,过弦AB作球的两个截面分别为圆与圆,且是边长为的等边三角形,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
9、如图，已知四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面APB，G为PC上一点，且平面APC，，则三棱锥体积最大值为( )
A. B. C. D.2
10、若点A在直线b上，b在平面上，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知四棱锥的顶点都在球O 的球面上, 底面ABCD 是边长为 2 的正方形, 且 平面ABCD. 若四棱锥的体积为, 则球O的表面积为_________.
12、在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为____________.
13、在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点P（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________.
14、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名. 他发现: “平面内到两个定点, M, N的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”. 后来, 人们将这个圆以他的名字命 名, 称为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆. 在平面直角坐标系xOy 中, , 点P 满足. 则点 P的轨迹方程为___ 在三棱锥中, 平面ABC, 且，，, 该三棱锥体积的最大值为_____________.
15、在三棱锥中,,,,点M,N分别是PB,BC的中点,且,则平面AMN截三棱锥的外接球所得载面的面积是________.
16、在等腰梯形ABCD中，，，O为AB的中点.将沿OC折起，使点B到达点的位置，则三棱锥外接球的表面积为_______；当时，三棱锥外接球的球心到平面的距离为_______.
三、解答题
17、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，
（1）求证：平面平面BCF.
（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
18、如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.
19、如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形
(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.
20、如图所示，和的对应顶点的连线交于同一点O，且.
(1)求证.
(2)求的值.
参考答案
1、答案：A
解析：设的外接圆的圆心为，连接，由于正三角形ABC的外接圆半径为1，所以正三角形ABC的边长为，三棱锥的体积，得.设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积.故选A.
2、答案：A
解析：由已知可得，则，设球心为O，O到平面ABCD的距离为x，球O的半径为R，则由，得，解得，所以，.故选A.
3、答案：B
解析：该堤坝可看作一个棱柱，由题可知棱柱的高为（尺），棱柱的底面为梯形，所以棱柱的体积（立方尺），故与所求堤坝的体积最接近的是7110立方尺.故选B.
4、答案：D
解析:平面BCD,平面BCD,,,,平面ACD,平面BCD,,在中,,,
则,平面BCD,平面BCD,,在中,设,,则由,得,,当且仅当,且,即时,等号成立,,
该三棱锥体积的最大值为.故选:D.
5、答案：B
解析:设正四面体PABC的内切球与外接球的半径分别为,,点P到底面ABC的距离为H,底面ABC的面积为S,由等体积法得.设,正的中心为O,则,,由,得,故.
6、答案：B
解析：由 ， 平面ABC ，得 PB就是三棱雉外接球的直径，
如图所示：
易得，
所以，
即 ，
则 ，
故三棱锥外接球的半径为.
所以三棱锥外接球的表面积 ，
故选 : B.
7、答案：C
解析:记AB的中点为M,则构成平面四边形,且,.
OM为的外接圆的直径,,,
.
故选:C
8、答案：A
解析：本题考查三棱锥和球.设AB的中点是，可知，又，则三棱锥的高是，故体积是.
9、答案：A
解析：四棱锥中，四边形ABCD为正方形，
，
平面平面APB，平面平面，
平面ABP，平面ABP，，
G为PC上一点，且平面APC，平面ABP，
，平面PBC，平面PBC，
平面PBC，平面PBC，，
令，，则，，
当且仅当时，取“=”，
三棱锥体积最大值为.故选：A.
10、答案：B
解析：点A在直线b上，记作，直线b在平面内，记作，故选B.
11、答案：
解析：由题意, 画出示意图如图: 则正方形ABCD 面积,
四棱锥的体积，, ，球 O的半径
球 O的表面积:.
故答案为:
12、答案：
解析：如图，延长EF，相交于M，连接AM交于H，延长FE，相交于N，连接AN交于，连接FH，EG，可得截面五边形AHFEG.因为是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱，的中点，所以，.，截面的周长为.
13、答案：
解析：如图，连接BD交AC于点O，连接，.由题易知平面平面，故截面平行于平面.过点P作与BD平行的直线分别交AD，AB于点M，N.在上取点Q使.，，，.又，
，，平面平面.易得，故，.
14、答案：，12
解析：设，, 所以, 所以, 即
, 三棱雉的高为, 当底面 的面积最大值时, 三棱雉的体积最大, , , 取 BC靠近 B的一个三等分点为坐标原点O,BC 为x 轴建立平面直角坐标 系, 不妨取，, 由题设定义可知 的轨迹方程为, 所以A 在圆 的最高点处，, 此时,.
15、答案：
解析:因为,M是PB的中点,所以,又,,PB,平面PBC,所以平面PBC,又平面PBC,所以.又,,PA,平面PAB,所以平面PAB.又PB,平面PAB,所以,.在中,,,,所以.在中,,,,所以,所以.取PC的中点O,又,,
所以,即点O是三棱锥的外接球的球心.设O到平面AMN的距离为h,平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r,因为是的中位线,所以O到平面AN的距离等于B到平面AMN的距离,故,即,得,所以,所以截面圆的面积为.
16、答案：；
解析：等腰梯形ABCD中，，，O为AB的中点.
，，为等边三角形，，三棱锥外接球的球心为O，半径为1，；
连BD与OC交于M，则，，，所以为二面角的平面角，又，又，二面角为，
到平面COD的距离为，在中，，，，，设球心O到平面的距离h，由，得，，解得，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离为.
17、
（1）答案：见解析
解析：如图，矩形ABCD中，，
平面平面
平面平面ABEF，
所以平面ABEF
又平面ABEF
，又AB为圆O的直径，
则
，BC，平面BCF，
所以平面BCF，且平面ADF
所以平面平面BCF.
（2）答案：6
解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H
平面平面ABEF，平面ABCD
则，，
所以.
18、答案：(1)见解析(2)
解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则
因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.
(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为
19、答案：(1)见解析.
(2).
解析：(1)在中，E，F分别是边AB，BC的中点，
所以，且，
同理有，且，
所以且，
故四边形EFGH是平行四边形.
(2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：
若，则有，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
所以四边形EFGH是菱形.
若，则，所以菱形EFGH是正方形.
20、答案：(1)见解析.
(2).
解析：(1)因为，
且，
所以，所以，
所以，同理.
(2)因为且AB和，AC和方向相反，
所以.
同理，
，
所以且，
所以.