2023年3月份第1周 数学好题推荐 （含解析）

2023年3月份第1周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合或，，若，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、已知复数(i为虚数单位)，若，则实数a的值为( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
3、已知，，，则( )
A. B. C. D.
4、已知与曲线相切，则实数a的值为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
5、在平行四边形ABCD中，，若，则与夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6、设，，则的值为( )
A.1 B. C. D.0
7、实数a，b满足，则的最小值是( )
A.4 B.6 C. D.
8、已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数( )
A.2 B.8 C. D.
9、已知函数()，若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、若，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11、若函数则使成立的x的值是( )
A.或2 B.或3 C.或4 D.或4
12、若存在两个正实数x，y使得等式成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
13、已知角的终边经过点，且，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
14、已知锐角满足.若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A.函数在上单调递增
B.函数的图象的一个对称中心是
C.函数的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
D.函数在上的值域为
15、在中,角的对边分别为,且,则的面积为( )
A. B. C.2 D.
16、已知向量不共线，若向量与的方向相反，则的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.
二、多项选择题
17、如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A.在线段AD上存在一点M，使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角的大小为45°
D.平面PAC
18、在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是( ).
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
19、将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若是最小正周期为的偶函数，则( )
A.的最小正周期为
B.是奇函数
C.在上单调递减
D.函数的最大值是
20、已知a，b，c是三个向量，则下列结论中错误的是( ).
A. B.
C. D.若，则
21、已知正项等比数列满足，若设其公比为q，前n项和为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
22、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则_____________.
23、在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
24、如图，在三棱锥中，底面为棱的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
25、如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为___________.
26、在正方体中，截面与底面ABCD所成的二面角的正切值为__________________.
27、已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
四、解答题
28、已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的单调区间.
（2）设直线l为函数的图象在点处的切线，问：在区间上是否存在，使得直线l与曲线也相切？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.
29、在中，内角A,B,C的对边依次为.
（1）求角C；
（2）若，求的面积.
30、如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.
（1）求证：平面PAC；
（2）若，，，求二面角正余弦值.
参考答案
1、答案：B
解析：或，，，，，，，.故选B.
2、答案：D
解析：由，得，整理得，所以，所以，故选D.
3、答案：A
解析：，，，因此，.
又，，，即，从而，故选A.
4、答案：B
解析：由题意，设切点为，所以，又因为，所以，所以，解得，故.故选B.
5、答案：B
解析：由题意得，.
因为，，，，
所以
，
解得，所以，故选B.
6、答案：C
解析：本题考查三角恒等变换公式，求三角函数值.由题意可得，，.
7、答案：C
解析：令，则，且，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是.
8、答案：B
解析：由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得.故选B.
9、答案：D
解析：解：因为在区间上为增函数，
所以可得()，
可得()，
当时，满足整数至少有1，2，舍去，
当时，由(1)，时，，
由(2)时，，
要使整数有且仅有一个，需，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
10、答案：A
解析：，，假设，，，即，若，，则，但，即推不出，是的必要不充分条件.故选：B.
11、答案：C
解析：当时，令，得，而，故舍去；当时，令，得，满足题意.
综上，或4，故选C.
12、答案：D
解析：因为x，y均为正数，所以等式可化为，即，即.令，，
则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，且当时，，所以，故选D.
13、答案：A
解析：由可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以即.
14、答案：D
解析：由题意知，
则为锐角，.
，
.
对于A，由，得，易知当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，故A错误；对于B，当，即时，，故的图象的对称中心为，故B错误；对于C，函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，易知函数的图象不关于y轴对称，故C错误；对于D，由，得，函数的值域为，故D正确.故选D.
15、答案：B
解析：
,
,又.又
.由余弦定理得,.又,.故选B.
16、答案：C
解析：向量与的方向相反，.
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得，
即.
与不共线，，
可得.
当时，向量与是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去..
17、答案：ABC
解析：对于A选项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，连接AC，BD，交于点O.侧面PAD为正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，.又，PM，平面PMB，平面PBM，故A正确.对于B选项，平面PBM，，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C选项，平面平面，，平面PBM.，平面PBM，，，是二面角的平面角.设，则，.在中，，即，故二面角的大小为45°，故C正确.对于D选项，与PA不垂直，与平面PAC不垂直，故D错误.故选ABC.
18、答案：ABC
解析：由，，得，，由公比q为整数，解得，
，，
，数列是公比为2的等比数列，，
又，数列是公差为的等差数列.故选ABC.
19、答案：AC
解析：由题可知，函数，
因为是最小正周期为的偶函数，所以解得因为，所以，所以，所以的最小正周期为，故A正确；因为，故B错误；令，，解得，，故C正确；因为（其中），所以的最大值为，故D错误.故选AC.
20、答案：CD
解析：因为向量的数量积公式满足交换律和分配律，所以A，B正确；
表示与向量c共线的向量，表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；
，那么或或，故D不正确.故选CD.
21、答案：ABD
解析：由题意且，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，所以，选项D正确.故选ABD.
22、答案：12
解析：是定义在R上的奇函数，
.
.
23、答案：135
解析：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.
故答案为：135.
24、答案：
解析：因为底面，所以，则，
由D为的中点知，即为正三角形.分别取的中点，连接，则.取的中心G,则，过分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点O，则O为三棱锥的外接球的球心，四边形为矩形，且.连接，则三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积.
25、答案：
解析：由于平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，故AF，AB，AD两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，所以，，，
设平面AGC的一个法向量为，则
令，得，
因此GB与平面AGC所成角的正弦值为.
26、答案：
解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接，，由题可知平面ABCD.因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD为正方形，所以.又，所以平面.因为平面，平面，所以，，所以即为二面角的平面角.在中，设，则，所以二面角的正切值为.故答案为.
27、答案：13
解析：如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.
28、答案：（1）函数（且），
.
曲线在点处的切线平行于直线，
，，
.
且，，
函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.
（2）在区间上存在唯一一个满足条件的.
，，
切线l的方程为，
即.①
设直线l与曲线相切于点.
，，，
直线l的方程也可以写成，
即.②
由①②得，.
下面证在区间上存在唯一一个满足条件的.
由（1）可知在区间上单调递增，
又，，
结合零点存在性定理，知方程在区间上有唯一的实数根，满足条件的只有一个.
解析：
29、答案：(1)或
(2)或1
解析：(1)本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式.
由，得，
化简得，
即，即，
即，解得或.
即或.
又，所以或.
(2)由(1)得或，当时，由正弦定理得，，
，
故；
当时，由，得，
因此.
综上，的面积是或1.
30、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为，所以.
因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.
又平面POD，且，所以平面POD.
因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.
易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.