专题01 匀变速直线运动规律的推论（含答案）

专题01 匀变速直线运动规律的推论
【核心要点】
1.匀变速直线运动的三个常用推论
(1)速度与位移的关系式：v2－v02＝2ax.
(2)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度.
即：＝＝.
(3)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等.
即：x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
2.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1).
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－).
【核心方法】
1.解决匀变速直线运动问题的基本思路
→→→→
注意：x、v0、v、a均为矢量，所以解题时需要确定正方向，一般以v0的方向为正方向.
2.匀变速直线运动公式的选用
一般问题用两个基本公式可以解决，以下特殊情况下用导出公式会提高解题的速度和准确率；
(1)不涉及时间，选择v2－v02＝2ax；
(2)不涉及加速度，用平均速度公式，比如纸带问题中运用＝＝求瞬时速度；
(3)处理纸带问题时用Δx＝x2－x1＝aT2，xm－xn＝(m－n)aT2求加速度.
3.逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，采用逆向思维法，倒过来看成初速度为零的匀加速直线运动.
4.图象法：借助v－t图象(斜率、面积)分析运动过程.
【典型例题】
【例题1】( 2015·武昌调研)一个物体做匀加速直线运动，它在第3 s内的位移为5 m，则下列说法正确的是(　　)
A．物体在第3 s末的速度一定是6 m/s B．物体的加速度一定是2 m/s2
C．物体在前5 s内的位移一定是25 m D．物体在第5 s内的位移一定是9 m
【答案】C
【例题2】(多选)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是(　　)
A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m
C．可以求得OA之间的距离为1.125 m D．可以求得OA之间的距离为1.5 m
【答案】BC
【例题3】(多选)几个水球可以挡住子弹 实验证实:四个水球就足够!四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列,子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动,恰好能穿出第四个水球,则可以判定(　 　)
A.子弹在每个水球中运动的时间相同
B.由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C.子弹在每个水球中速度变化相同
D.子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
【答案】BC
【精讲精练】
1.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中正确的是(　　)
A.2～4 s内的平均速度是2.25 m/s B.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2 D.质点的加速度是0.5 m/s2
【答案】ABD
2.如图所示,一物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O点无初速度释放后,先后通过P、Q、N三点,已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等,且PQ长度为3 m,QN长度为4 m,则由上述数据可以求出OP的长度为
A.2 m B. C. D.3 m
【答案】C
3.一物体以vA从A点出发做匀加速直线运动，经过时间t以速度vB到达相距为s的B点，则该物体经过和距B点为处的瞬时速度为(　　)
A.， B.，
C.， D.，
【答案】D
4.一质点做匀加速直线运动时速度变化时发生位移，紧接着速度变化同样的时发生位移，则该质点的加速度为
A． B． C． D．
【答案】A
5. 一小球(可视为质点)沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，如图1所示．已知AB＝18 m，BC＝30 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球在经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)
A．6 m/s，9 m/s，12 m/s B．6 m/s，12 m/s，18 m/s
C．3 m/s，4 m/s，5 m/s D．3 m/s，5 m/s，7 m/s
【答案】B
6.(双向可逆类问题)(多选)在足够长的光滑斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A.物体运动时间可能为1 s B.物体运动时间可能为3 s
C.物体运动时间可能为(2＋) s D.物体此时的速度大小一定为5 m/s
【答案】ABC
7.(多选)如图所示,一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动,且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　 　)
A.v1∶v2∶v3=3∶2∶1 B.v1∶v2∶v3=∶∶1
C.t1∶t2∶t3=1∶∶ D.t1∶t2∶t3=(-)∶(-1)∶1
【答案】BD
8.一滑块沿斜面由静止滑下，做匀变速直线运动，依次通过斜面上的A、B、C三点，如图所示，已知AB＝15 m，BC＝30 m，滑块经过AB、BC两段位移的时间都是5 s，求：
(1)滑块运动的加速度大小；
(2)滑块在B点的瞬时速度大小；
(3)滑块在A点时离初始位置的距离.
【答案】(1)0.6 m/s2　(2)4.5 m/s　(3)1.875 m
答案
【例题1】【解析】考查匀变速直线运动规律，匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，根据第3 s内的位移为5 m，则2.5 s时刻的瞬时速度为v＝5 m/s，2.5 s时刻即为前5 s的中间时刻，因此前5 s内的位移为x＝vt＝5 m/s×5 s＝25 m，C项对；由于无法确定物体在零时刻的速度以及匀变速运动的加速度，故A、B、D项均错．
【例题2】【解析】设物体通过AB、BC、CD所用的时间均为t，由匀变速直线运动的推论Δx＝at2可得：物体的加速度a的大小为a＝＝＝，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据CD－BC＝BC－AB＝1 m，可知CD＝3＋1＝4 m，故B正确；因某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以物体经过B点时的瞬时速度为vB＝＝，再由v＝2axOB可得OB两点间的距离为xOB＝＝·＝3.125 m，所以O与A间的距离xOA＝xOB－AB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C正确，D错误。
【例题3】解析:设水球的直径为d,子弹运动的过程为匀减速直线运动,直到末速度为零,我们可以应用逆过程,相当于子弹做初速度为零的匀加速直线运动;因为通过最后1个、最后2个以及后3个、全部 4个的位移分别为d、2d、3d和4d,根据x=at2知,时间之比为1∶∶∶2,所以子弹在每个水球中运动的时间不同;由以上的分析可知,子弹依次穿过4个水球的时间之比为(2-)∶(-)∶(-1)∶1,故A错误,B正确;子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动,则受力是相同的,所以加速度相同,由Δv=at可知,运动的时间不同,则速度的变化不同,故C错误;由A的分析可知,子弹穿过前3个水球的时间与穿过第四个水球的时间是相等的,由匀变速直线运动的特点可知,子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等,故D正确。
1.解析　根据平均速度公式，质点2～4 s内的平均速度＝ m/s＝2.25 m/s，故A正确；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，即v3＝＝2.25 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，故C错误，D正确.
2.解析:设相等的时间为t,加速度为a,由Δx=at2得,加速度a===;Q点瞬时速度的大小等于PN段的平均速度的大小,即vQ===,则OQ间的距离xOQ==× m= m,则OP的长度xOP=xOQ-xPQ= m-3 m= m,故C正确。
3.解析：物体加速度a＝，物体经过的瞬时速度为v′＝vA＋a·＝。由vB2－v2＝2a·，v2－vA2＝2a·，联立解得：v＝ ，选项D正确。
5. 【解析】根据Δx＝aT2，可得a＝＝＝ m/s2＝3 m/s2.根据v＝＝，可得vB＝＝ m/s＝12 m/s.根据v＝v0＋at，可得vC＝vB＋aT＝(12＋3×2) m/s＝18 m/s.
vA＝vB－aT＝(12－3×2) m/s＝6 m/s.小球通过A、B、C三点时的速度大小分别是vA＝6 m/s，vB＝12 m/s，vC＝18 m/s，所以选项B正确．
6.解析　以沿斜面向上为正方向，a＝－5 m/s2，当物体的位移为向上的7.5 m时，x＝＋7.5 m，由运动学公式x＝v0t＋at2，解得t1＝3 s或t2＝1 s，故A、B正确.
当物体的位移为向下的7.5 m时，x＝－7.5 m，由x＝v0t＋at2解得：t3＝(2＋) s或t4＝(2－) s(舍去)，故C正确.
由速度公式v＝v0＋at，解得v1＝－5 m/s或v2＝5 m/s、v3＝－5 m/s，故D错误.
7.解析:因为冰壶做匀减速直线运动,且末速度为零,故可以看成反向匀加速直线运动来研究。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为 1∶(-1)∶(-),故所求时间之比为(-)∶(-1)∶1,选项C错误,D正确;由v2-=2ax可得,初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶∶,则所求的速度之比为∶∶1,选项A错误,B正确。
8.解析　(1)设滑块加速度为a，根据xBC－xAB＝aT2，代入数据解得：
a＝＝ m/s2＝0.6 m/s2；
(2)设B点速度为vB，根据平均速度推论知：
vB＝＝ m/s＝4.5 m/s；
(3)由vB＝vA＋at得：
vA＝4.5 m/s－0.6×5 m/s＝1.5 m/s
则滑块在A点时离初始位置的距离为：
x＝＝ m＝1.875 m.
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