7.1.1数系的扩充与复数的概念2022-2023学年高一数学同步精讲 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
复 数
章前语
我们知道，对于实系数一元二次方程，当 时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集，有些问题就无法解决．
事实上，数学家在研究 解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等．
本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
本章知识结构
§7.1.1 数系的扩充和复数的概念
§7.1 复数的概念
复数的概念
复数的分类
典型例题精析
小结及随堂练习
情景导入
1.、、、分别代表什么？它们是如何发展得来的？
2.若给方程一个解,则这个解要满足什么条件？
是否在实数集中？
实数与相加、相乘的结果应如何？
复数的概念
01
探索新知
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关
数系的每一次扩充，都引入了新元素，
解决了原有数集中某种运算不能实施的矛盾，保留了原有的运算性质
依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，
我们该如何探究呢？
数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中运算及运算规律
探究新知
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，
我们设想引入一个新数，并规定：
① 是方程的解，即使得.
②实数可以和进行四则运算，且原有的运算律仍然成立
思考1：把实数和新引进的数像实数那样进行运算，你得到什么样的数？
把实数与新引入的数相加，结果记作
把实数与相乘，结果记作
把实数与相加，结果记作等等
其中：可以看成
可以看成
可以看成
可以看成
注意到所有实数以及都可以写成()的形式，
从而这些数都在扩充后的新数集中
学习新知
形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位。
复数通常用字母表示，即
复数
注意：
1.设复数时，一定要，否则不能说
实部为，虚部为；
2.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含，不能说虚部为.
复数集：
全体复数所构成的集合叫做复数集
实部和虚部：
不作特殊说明时，复数都有， 其中的与分别叫做复数的实部与虚部
学习新知
注意：
两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小
复数的相等：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即
若则有
共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，记作和
即,
理解新知
例1.解方程：
例2.请说出下列复数的实部和虚部：
追问：能否推出
不能
注意： 不是一个未知参数，而是一个单位
易错：复数的虚部是实数而不是；
②复数只有在时才是复数的代数形式。
复数的分类
02
再探新知
思考2：复数可以是实数吗？如果可以需要满足什么条件？
虚数与纯虚数:
已知,
①当时，则为实数
特别地，当，且时， 为实数
②当时，则为虚数
特别地，当，且时， 为纯虚数
再探新知
思考2：复数集与实数集之间有什么关系？
显然，实数集是复数集的真子集，即
上述之间的关系，可用图表示如右
理解新知
例3.当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数
解： (1)当，即时，复数是实数.
(2)当，即时，复数是虚数.
(3)当，且时，即时，复数是纯虚数.
分析：这因为，所以，都是实数。由复数
是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的取值
典型例题精析
03
典例精析
题型一：复数的概念
例4.(多选)下列说法中错误的是（ ）
A.复数的虚部是3；
B.形如的数一定是虚数；
C.若，则是纯虚数;
D.若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
解：复数的虚部是3,A正确；
形如的数一定是虚数，B错误；
只有当，则是纯虚数， C错误；
若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，
故选BC
典例精析
题型一：复数的概念
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为的形式，更要注意这里 ， 均为实数时，才能确定复数的实、虚部
技巧总结：判断与复数有关的命题是否正确的方法
【注：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记 的性质.】
典例精析
题型二：复数的分类
例5.当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数
解： (1)当，即时，复数是实数.
(2)当，即且时，复数是虚数.
(3)当，即时，复数是纯虚数.
典例精析
题型二：复数的分类
利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式
若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解;
(2) 要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值
求解;
(3)要特别注意复数为纯虚数的充要条件是，且.
思维升华：利用复数的分类求参数的方法及注意事项
典例精析
题型三：两个复数相等
例5.(1)若，求实数的值。
(2)若不等式成立，求实数的值。
解： (1)有两个复数相等的充要条件得 ，解得
故实数分别为，.
(2)依题意有，得，
因此.
典例精析
题型三：两个复数相等
将等式两边都整理为的形式;
由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组;
解方程组，求出相应的参数.
技巧总结：解决复数相等问题的基本步骤
小结及随堂练习
04
随堂练习
1.说出下列复数的实部和虚部
2.指出下列各数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数。为什么？
3.求满足下列条件的实数，的值:
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