7.2.1+复数的加、减运算及其几何意义2022-2023学年高一数学同步精讲 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
§7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
§7.2 复数的四则运算
温故知新
1.复数的代数形式：_______________（ ___________ ）。
2.复数相等的充要条件：________________________________。
3.复数的几何意义：复数 复平面内的点
平面向量
4.复数的模等于向量的模：_________________________________。
实部和虚部分别对应相等
情景导入
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集．引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算．
下面就来讨论复数集中的运算问题:
复数如何进行四则运算呢？运算律仍成立吗？
复数的加法
复数的减法
典型例题精析
小结及随堂练习
复数的加法
01
探究新知
探究1：复数的加减法具体该如何运算？
引例：设,,则该如何表示？
在上述运算中，我们遵循了什么原则？
合并同类项
两个复数的加法运算可不可以类比上述原则进行呢？
设是任意两个复数，那么它们的和
复数的加法法则
学习新知
设是任意两个复数，那么它们的和
复数的加法法则
注意：
1.两个复数的和仍然是一个确定的复数;
2.当都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和;
3.两个复数相加，类似于两个多项式相加（合并同类项）.
对于任意,有 ,
即，复数的加法满足交换律、结合律
复数加法运算律
探究新知
探究2：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向
量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
设，分别与复数对应，
则，.
由平面向量的坐标运算法则，得
这说明两个向量与的和就是与
复数 对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，
这就是复数加法的几何意义.
复数的减法
02
再探新知
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算。
类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
的复数叫做复数减去复数的差，
记作.
根据复数相等的含义，
因此
所以
即
这就是复数的减法法则
1.两个复数的差仍然是一个确定的复数;
2.两个复数相减，类似于两个多项式相减（合并同类项）
再探新知
探究4：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
设，分别与复数对应，
则，.
由平面向量的坐标运算法则，得
这说明两个向量与的差就是与
复数 对应的向量.
因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，
这就是复数减法的几何意义.
典型例题精析
03
典例精析
题型一：复数的加、减运算
例1.计算；
计算.
解: 原式
原式
例2.已知, ,为实数，
若,则
解:
,解得, ;
,
典例精析
题型一：复数的加、减运算
(1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项：
①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减；
②把看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项；
(2)运算推广：对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或
相减）的混合运算，运算的结果仍然是一个复数
思维升华：复数代数形式的加、减法运算
【注：准确地提取复数的实部与虚部】
典例精析
题型二：复数加、减法的几何意义
例3.根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，
之间的距离.
解：因为复平面内的点对应的复数分别为，
，所以点，之间的距离为
分析：由于复平面内的点，,对应的复数分别为
由复数减法的几何意义知，复数对应
的向量为，从而点 之间的距离
典例精析
题型二：复数加、减法的几何意义
例4.如图所示，在□ 中，顶点分别为
求所表示的复数， 所表示的复数;
对角线所表示的复数;
对角线所表示的复数及的长度。
解：1）因为,所以所表示的复数为
因为, 所以所表示的复数为
2）因为
所以所表示的复数为
3）因为
所以所表示的复数为
所以
典例精析
题型二：复数加、减法的几何意义
(1)形转化为数：
利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形：
对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
思维升华：用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
典例精析
题型三：复数加、减法及几何意义的应用
例4.设，，已知，，求.
解：法一：设，，
由题设知，，
又∵
∴
∵
∴
法二：作出，对应的向量，，使
∵，又，不共线(若，共线，
则或与题设矛盾)， ∴平行四边形为菱形
又， ∴， 即四边形为正方形，
故.
典例精析
题型三：复数加、减法及几何意义的应用
(1)复数问题实数化:
设出复数 ，利用复数相等或模的概念，可把
条件转化为满足的关系式，利用方程思想求解.
(2)几何意义的应用：
在复平面内,对应的点为， 对应的点为 , 为坐
标原点，则四边形 OACB 满足：
①为平行四边形；
②若，则四边形为矩形；
③若，则四边形为菱形；
④若且则四边形 OACB 为正方形
思维升华：复数加、减法及几何意义的应用
小结及随堂练习
04
随堂练习
1.计算下列复数的和与差
①
②
2.计算：(1)
(2)
(3)
3.图中的向量对应的复数，
试做出下列运算结果对应的向量：
(1) (2) (3)
y
x
O
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
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