18.2.1 矩形的判定 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
18.2.1 矩形的判定
人教版八年级下册
知识回顾
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
轴对称图形，有两条对称轴
对边平行且相等
矩形的性质有哪些？
教学目标
1.理解并掌握矩形的判定办法.
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明.
新知导入
工人师傅在做门窗或矩形零件时，为保证图形是矩形，要进行很多测量，你能想到什么方法帮助工人师傅测量吗？
新知探究
数学语言：
在平行四边形ABCD中， ∵∠A=90
∴平行四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
┐
通过上节课的学习，我们知道矩形的定义可以作为判定四边形是矩形的方法，即：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
除了根据定义判定以外，还有其他方法吗？
知识点1
矩形的判定
新知探究
思考 请写出矩形的对角线互相平分且相等的逆命题.
如果一个四边形是矩形，那么它的对角线互相平分且相等.
①如果一个四边形的对角线互相平分且相等，那么这个四边形是矩形.
如何验证逆命题是否成立呢？
②如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.
新知探究
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD互相平分，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
用哪个定理证明呢？
①如果一个四边形的对角线互相平分且相等，那么这个四边形是矩形.
②如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.
A
B
D
C
O
等同于“在□ ABCD中”
（定义法）
有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定定理1
新知探究
例1 已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD， AB//CD
∵在△ABC 和△DCB 中， AB=CD， AC=BD，BC=BC
∴△ABC≌△DCB（SSS），∠ABC=∠DCB
A
B
D
C
∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180
∴ ∠ABC=∠DCB=90
又四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
新知小结
对角线相等的平行四边形是矩形.　　
判定定理2
由上述证明可以得到：
几何语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
对角线互相平分且相等的四边形是矩形.　　
或
A
B
D
C
新知典例
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交
于点O，且 OA=OD，∠OAD=50 . 求 ∠OAB 的度数.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD
又OA=OD ∴ AC=BD
∴四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=90
A
D
B
C
O
又∠OAD=50 ∴ ∠OAB=40
新知练习
1. 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
新知探究
思考 请写出矩形的四个角都是直角的逆命题.
如果一个四边形是矩形，那么它的四个内角都是直角.
如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是矩形.
至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
新知探究
┐
┐
┐
┐
┐
┐
×
×
√
一个角是直角
两个角是直角
三个角是直角
你能证明吗？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 .
求证：四边形ABCD是矩形.
新知探究
例3 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 .
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=90 ， ∠A+∠B=180
∴ AD//BC
∵ ∠B=∠C=90 ， ∠B+∠C=180
∴ AB//CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90
∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
┐
┐
┐
新知小结
有三个角是直角的四边形是矩形.　　
判定定理3
由上述证明可以得到：
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90
∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
新知探究
例4 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
新知练习
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
新知小结
判定方法 数学语言 图形
角
对角线
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，∵∠A= ∠B=∠C=90 ∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
A
D
B
C
O
对角线相等的平行四边形是矩形.
在 ABCD中， ∵ AC= BD
∴ ABCD是矩形
在 ABCD中， ∵∠A= 90 ∴ ABCD是矩形
课堂练习
1.判断下列语句的对错.
（1）有一个角是直角的四边形是矩形. （ ）（2）四个角都相等的四边形是矩形. （ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形. （ ）
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形. （ ）
×
√
×
√
平行四边形
平行四边形
新知练习
2. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ ）.
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC
B
A. ∵ ∠A=∠B， ∠A+∠B=180 ∴∠A=∠B=90
C. ∵AC=BD ∴对角线相等的平行四边形是矩形
D. ∵AB⊥BC ∴∠B=90
可以判定
可以判定
可以判定
新知练习
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有_____________________________________．(填序号)
①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)
课堂总结
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
课堂练习
1.下列命题中，假命题的是（ ）.
A.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
A
C.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
D.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
可能是直角梯形
课堂练习
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
课堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，
∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
课堂练习
4.平行四边形ABCD中，AE，CG，BG，DE分别是四个内角的角平分线，求证：EFGH是矩形.
解析：由平行四边形的性质得出相邻两个内角互补，再由角平分线的性质得出EFGH的四个内角都是90 .
A
B
C
D
E
F
G
H
课堂练习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB//CD，AD//BC
∴ ∠BAD+∠ABC=180
∵ AE，BG分别是∠BAD，∠ABC的角平分线
∴ ∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ABG=∠CBG=∠ABC
∵ ∠BAD+∠ABC=∠180
∴ ∠BAE+∠ABG= (∠BAD+∠ABC )=90
A
B
C
D
E
F
G
H
课堂练习
同理： ∠G=∠E=∠GFE=90
∴四边形EFGH是矩形
∵ 在△ABH中，∠BAE+∠ABG=90
∴ ∠BHA=180 -∠BAE-∠ABG=90
∴ ∠GHE=∠BHA=90
A
B
C
D
E
F
G
H
谢谢
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