平面向量及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
2. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( )
A. B.2
C.3 D.2
3. 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D. N
4. 在△ABC中，cos ＝，且BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
5. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
6. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A.2 km B.3 km
C.4 km D.3 km
7. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8. 已知a＝(－1，1)，|b|＝，|a＋2b|＝，则向量a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b|
10. 已知△ABC是正三角形，则在下列结论中，正确的为( )
A.|＋|＝|＋|
B.|＋|＝|＋|
C.|＋|＝|＋|
D.|＋＋|＝|＋＋|
11. 已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A.|a＋b|＝1 B.a⊥b
C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1
12. 已知a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A.a·e＝0 B.e·(a－e)＝0
C.a·e＝1 D.e·(a－e)＝1
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
14. 已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a等于________.
15. 若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________.
四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线.
18. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围.
19. 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y).
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值.
20. 在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，记＝a，＝b.
(1)求(2a－3b)·(4a＋b)的值；
(2)求|2a－b|的值.
21. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值.
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝1时，求DF的长.
22. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①2＋·＝－6；
②b2＋c2＝52；
③△ABC的面积为3.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cos A＝－，________.
(1)求a；
(2)求cos的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.平面向量及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
【解析】连接CD，OD(图略)，
∵点C，D是半圆弧的两个三等分点，
∴＝＝，
∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，
∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋.
∵＝＝a，＝b，∴＝a＋b.
2. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( )
A. B.2
C.3 D.2
【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a).
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
3. 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D. N
【解析】对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，可知这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.
4. 在△ABC中，cos ＝，且BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
【解析】由cos ＝，得
cos C＝2cos2－1＝－，
又BC＝1，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos C
＝12＋52－2×1×5×＝32.
因此AB＝＝4.
5. 在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的范围为( )
A.(，) B.(，2)
C.(0，2) D.(，2)
【解析】由正弦定理得＝＝＝2cos B.
又＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数，
故＜cos B＜，∴∈(，).
6. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A.2 km B.3 km
C.4 km D.3 km
【解析】依题设，AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°，
∴AE＝2AB＝2，CE＝＝3×＝2.
在△ACE中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2·AE·CE·cos 150°＝28.
∴AC＝2，即两山顶A，C之间的距离为2 km.
7. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，
又因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，
即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形.
8. 已知a＝(－1，1)，|b|＝，|a＋2b|＝，则向量a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
【解析】由a＝(－1，1)，得|a|＝.
∵|a＋2b|＝，
∴6＝|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝2＋4×2＋4|a||b|cos θ
＝10＋4××cos θ
＝10＋8cos θ，∴cos θ＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴向量a与b的夹角θ为π.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b|
【解析】由条件得：a＝(＋)＋(＋)＝0，故选AC.
10. 已知△ABC是正三角形，则在下列结论中，正确的为( )
A.|＋|＝|＋|
B.|＋|＝|＋|
C.|＋|＝|＋|
D.|＋＋|＝|＋＋|
【解析】＋＝，＋＝，而||＝||，故A正确；
|＋|＝||≠|＋|，故B不正确；
画图(图略)可知C正确；
|＋＋|＝2||，
|＋＋|＝2||，故D正确.
11. 已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A.|a＋b|＝1 B.a⊥b
C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1
【解析】分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；
∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，
∴|a＋b|＝，故A结论错误；
∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2·cos 120°＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；
a·b＝1×2·cos 120°＝－1，故D结论正确.
12. 已知a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A.a·e＝0 B.e·(a－e)＝0
C.a·e＝1 D.e·(a－e)＝1
【解析】∵对任意的t，恒有|a－te|≥|a－e|，
∴a2＋t2e2－2ta·e≥a2＋e2－2a·e恒成立，
即t2－2ta·e＋2a·e－1≥0恒成立.
Δ＝(2a·e)2－4(2a·e－1)≤0，
即(a·e－1)2≤0，所以a·e＝1.
又e·(a－e)＝e·a－e2＝e·a－1＝0.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
【解析】由＝知四边形ABCD为平行四边形.
由||＝||＝||知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，
故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，
令其半径为r，则r＝||sin 60°＝，
所以S圆＝πr2＝π·＝.
14. 已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a等于________.
【解析】设点C，由于＝，
所以＝，
则解之得
15. 若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
【解析】由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).
又2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，
若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c共线且反向，不合题意.
综上，k的取值范围为∪.
16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________.
【解析】由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝5ac，
由正弦定理，得sin2B＝5sin Asin C＝，
所以sin Asin C＝，
所以＝＝.
四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线.
【证明】设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BN＝BD，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，∴与共线，
又∵与有公共点C，
∴C，M，N三点共线.
18. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围.
【解析】(1)由已知可得＝，
四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)
＝－－.
(2)设＝k，
则＝－＝(k－1)－，
＝－＝－－k，
·＝[(k－1)－]·(－－k)＝，
∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，
∴·∈.
19. 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y).
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值.
【解析】(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线.
由题意得＝(3，1)，＝(2－x，1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)，由＝2得
(2－x，1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
即x，y的值分别为－4，－1.
20. 在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，记＝a，＝b.
(1)求(2a－3b)·(4a＋b)的值；
(2)求|2a－b|的值.
【解析】(1)a·b＝||·||·cos
＝1×2×＝－1，
又a2＝||2＝1，b2＝||2＝4，
∴(2a－3b)·(4a＋b)＝8a2－10a·b－3b2
＝6.
(2)∵(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4＋4＋4＝12，
∴|2a－b|＝＝2.
21. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值.
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝1时，求DF的长.
【解析】(1)＝－
＝＋－(＋)
＝＋－
＝＋－
＝－＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝.
(2)以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系如图，AB＝，BC＝2，
则A(0，0)，B(，0)，E(，1).
设F(x，2)，∴＝(，1)，
＝(x－，2).
∵·＝1，∴(x－)＋2＝1，
∴x＝，∴|DF|＝.
22. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①2＋·＝－6；
②b2＋c2＝52；
③△ABC的面积为3.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cos A＝－，________.
(1)求a；
(2)求cos的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】选择条件①：
(1)2＋·＝·(＋)
＝·＝bccos A＝－6.
∵cos A＝－，∴bc＝24.
由解得或(舍去).
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
(2)∵cos C＝＝＝，∴sin C＝＝，
∴cos 2C＝2cos2C－1＝，
sin 2C＝2sin Ccos C＝.
∴cos＝cos 2Ccos －sin 2Csin
＝.
选择条件②：
(1)由
解得或(舍去).
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
(2)同选择条件①.
选择条件③：
(1)∵cos A＝－，∴sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，
∴bc＝24.
由解得或(舍去).
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
(2)同选择条件①.
