一元函数的导数及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于( )
A. B.－ C.1 D.－1
【解析】Δs＝－(2＋1)＝－.
2. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
【解析】 ＝＝＝－1.
3. 已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( )
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
【解析】∵＝＝＝，
∴f′(m)=＝－，
∴－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
4. 在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A.(0，0) B.(2，4)
C. D.
【解析】∵y′＝＝(2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.
∴y＝＝，所求点的坐标为.
5. 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
【解析】由题意，知切线l的斜率k＝4，
设切点坐标为(x0，y0).
∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，
∴切点为(1，1)，
∴l的方程为y－1＝4(x－1)，
即4x－y－3＝0.
6. 曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【解析】因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.
7. 函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
【解析】y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
8. 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
【解析】由函数y＝f(x)的图象，知当x<0时，f(x)单调递减；
当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，
分析知y＝f′(x)的图象可能为D.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A.y＝0 B.x＝0
C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0
【解析】∵f(x)＝x3，设切点(x0，x)，
则k＝
＝[3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x，
∴在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0；
当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，
故切线方程为y－27＝27(x－3)，
整理得27x－y－54＝0.
10. 下列结论中，正确的是( )
A.若y＝，则y′＝－
B.若y＝，则y′＝
C.若y＝，则y′＝－2x－3
D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3
【解析】选项A，y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；
选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠；
选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；
选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴选项A，C，D正确.
11. 下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x
【解析】A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′，正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；
C项中，′＝，错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确.
12. 下列函数是复合函数的是( )
A.y＝－x3－＋1 B.y＝cos
C.y＝ D.y＝(2x＋3)4
【解析】A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成；
C由y＝，u＝ln x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________.
【解析】f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex.
因为f(x)的单调减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，
即解得m＝－.
14. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
【解析】因为f′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得
所以a＝－.经检验，符合题意.
15. 设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
【解析】由f(x)＝得f′(x)＝，
令f′(x)>0，则1－ln x>0，解得0
令f′(x)<0，则1－ln x<0，解得x>e.
∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在(e，4]上单调递减，且f(1)＝0，f(4)＝>0，
∴f(x)的最大值为f(e)＝＝，
f(x)的最小值为f(1)＝0.
16. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax，
由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，
由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，
在[0，1]上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
【解析】函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
18. 已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，求实数m的取值范围.
【解析】令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的单调递减区间为[－2，2]，
由题意得(2m，m＋1) [－2，2]，
∴解得－1≤m<1.
故实数m的取值范围为[－1，1).
19. 求函数f(x)＝－2的极值.
【解析】函数的定义域为R.
f′(x)＝
＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? －3 ? －1 ?
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
20. 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0，2].
【解析】(1)f′(x)＝cos x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
且x∈，
所以x＝.
又因为f＝，
f＝－1，f＝1，
所以当x∈时，
函数的最大值为f＝，
最小值为f＝－1.
(2)f′(x)＝－x，
令－x＝0，
化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值.
又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，
f(1)>f(2).
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0，2]上的最小值，
f(1)＝ln 2－为函数在[0，2]上的最大值.
21. 已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值.
【解析】函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上是增函数.
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞).
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)是增函数，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)是增函数，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾.
综上所述，a的值为.
22. 已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数.
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，
∴f(x)＞0，
即f(x)在(a，＋∞)上无零点.
(2)当x＜a时，f(x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，
则g′(x)＝ex(x－a＋1).
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；
当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，
在(a－1，a)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，
则x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，
则f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，
则f(x)有两个零点.一元函数的导数及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于( )
A. B.－ C.1 D.－1
2. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
3. 已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( )
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
4. 在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A.(0，0) B.(2，4)
C. D.
5. 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
6. 曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7. 函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
8. 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A.y＝0 B.x＝0
C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0
10. 下列结论中，正确的是( )
A.若y＝，则y′＝－
B.若y＝，则y′＝
C.若y＝，则y′＝－2x－3
D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3
11. 下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x
12. 下列函数是复合函数的是( )
A.y＝－x3－＋1 B.y＝cos
C.y＝ D.y＝(2x＋3)4
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________.
14. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
15. 设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
16. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
18. 已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，求实数m的取值范围.
19. 求函数f(x)＝－2的极值.
20. 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0，2].
21. 已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值.
22. 已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数.