一元函数的导数及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
2. 设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 023(x)＝( )
A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x
3. 已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
4. 若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于( )
A.－3或3 B.3或－9
C.3 D.－3
6. 函数f＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )
A.a∈
B.a∈
C.a∈∪
D.a∈
7. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)
A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)
8. 已知函数f＝若 x0∈R使得f＝f成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度为1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
10. 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有( )
A.
B.
C.
D.
11. 曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为( )
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
12. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是( )
A.<0
B.>0
C.f>
D.f<
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为________.
14. 已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.
15. 若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线，则b的值为 .
16. 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
18. 已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
(1)求a，b的值.
(2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.
19. 试讨论函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
20. 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
21. 已知函数f＝ex－x2－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f在点处的切线方程；
(2)当x>0时，f≥1－x恒成立，求实数a的取值范围.
22. 已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.一元函数的导数及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
【解析】∵f(x)在a到b之间的平均变化率是，
g(x)在a到b之间的平均变化率是，
又∵f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，
∴＝，
∴A，B错误；
易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，
同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，
由题中图象可知，
当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确.
2. 设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 023(x)＝( )
A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x
【解析】根据题意，f0(x)＝cos x，
则f1(x)＝f0′(x)＝－sin x，
f2(x)＝f1′(x)＝－cos x，
f3(x)＝f2′(x)＝sin x，
f4(x)＝f3′(x)＝cos x，
…，
则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，
故f2 023(x)＝f4×505＋3(x)＝f3(x)＝sin x.
3. 已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
【解析】∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，
∴f′(x)＝x－sin x.
易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.
由f′＝－<0，排除C，故选A.
4. 若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－.
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去).
当0当x>时，f′(x)>0，函数f(x)在区间上单调递增.
因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以k－1<又k－1≥0，所以1≤k<.故选C.
5. 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于( )
A.－3或3 B.3或－9
C.3 D.－3
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
解得或
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，
当－3当x>1时，f′(x)>0，
x＝1是极小值点；
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.
∴a＝3.
6. 函数f＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )
A.a∈
B.a∈
C.a∈∪
D.a∈
【解析】由f(x)＝ax3＋x2＋5x－1，
得f′(x)＝3ax2＋2x＋5，
当a＝0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，函数f(x)有两个单调区间；
当a>0时，由Δ＝4－60a>0，解得a<，即0当a<0时，Δ＝4－60a>0，解得a<，即a<0，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间.
∴综上所述，a∈∪是函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a∈是其必要不充分条件.
7. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)
【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
8. 已知函数f＝若 x0∈R使得f＝f成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得，存在实数x0≠0，使得f＝f成立，
假设x0>0，则－x0<0，
所以有－kx0＝ln x0，
则k＝－，
令h＝－，
则h′＝，
令h′>0，即ln x>1，解得x>e，
令h′<0，即ln x<1，解得0则h在上单调递减，在上单调递增，
所以h≥hmin＝h＝－＝－，
所以k≥－.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度为1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
【解析】A中，初速度v0＝
＝＝(3－Δt)＝3(m/s)，
即物体的初速度为3 m/s，即A正确.
B中，v＝
＝
＝
＝(－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反，即B正确.
C中，v＝＝＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s，即C正确.
D中，v＝＝(－3－Δt)＝－3.故D错误，故应选ABC.
10. 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有( )
A.
B.
C.
D.
【解析】因为
＝f′(x0)＝2，故A正确；
因为＝f′(x0)＝1，故B错误；
因为＝2f′(x0)＝4，故C错误；
因为＝f′(x0)＝2，故D正确.故选AD.
11. 曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为( )
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
【解析】y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x＝0＝2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝，
解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
12. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是( )
A.<0
B.>0
C.f>
D.f<
【解析】由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1－x2与f－f异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；
B选项表示x1－x2与f－f同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；
f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，
表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，
显然有f<，故C不正确，D正确.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为________.
【解析】y′＝
＝
＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2，
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以其斜率k≥1.
由y′＝2x＋2∈[1，＋∞)，解得x≥－.
14. 已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.
【解析】如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.
易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，
故此时点P的坐标为(1，0)，
所以PQ的最小值为＝.
15. 若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线，则b的值为 .
【解析】设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点的横坐标为x1，
与曲线y＝ln(x＋1)的切点的横坐标为x2，
所以曲线y＝ln x＋2在相应切点处的切线为y＝·x＋ln x1＋1，
曲线y＝ln(x＋1)在相应切点处的切线为
y＝·x＋ln(x2＋1)－，
所以
解得于是b＝1－ln 2.
16. 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)因为h(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立.
设H(x)＝－，x∈[1，4]，
所以a≥H(x)max，
而H(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以H(x)max＝－(此时x＝4).
因为a≠0，所以－≤a<0或a>0.
(2)由题知h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
可得当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解.
设G(x)＝－(x>0)，
所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)＝－1，
所以G(x)min＝－1.
因为a≠0，所以－10.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
【解析】设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋2ax0＋aΔx－9]＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
18. 已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
(1)求a，b的值.
(2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
∵f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋，
∴f′＝，
即3a·＋1－1＝，解得a＝1，
又f(x)的图象过点，
∴－－＋b＝，
解得b＝.
综上，a＝1，b＝.
(2)设直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切于点A(x0，y0).
∵g′(x)＝ex，∴g′(x0)＝ex0＝，
解得x0＝－，
将x0＝－代入g(x)＝ex，
得点A的坐标是，
∴切线方程为y－＝，
化简得y＝x＋，
故直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切，切点坐标是.
19. 试讨论函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
【解析】函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
20. 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
21. 已知函数f＝ex－x2－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f在点处的切线方程；
(2)当x>0时，f≥1－x恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a＝－1时，f′＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f＝e，
切线方程为y－e＝，
即y＝x＋1.
(2)当x>0时，f≥1－x，
即a≤－x－＋1，
令g＝－x－＋1(x>0)，
a≤gmin成立，
g′＝.
设F＝ex－x－1，
F′＝ex－1，x∈，
F′＝ex－1>0，
所以Fmin>0，
所以当x∈时，g′(x)<0，
g(x)单调递减，
当x∈时，g′(x)>0，
g(x)单调递增，
故g(x)min＝g＝e－1，
所以a∈.
22. 已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
【解析】当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)上单调递增，在(3－2，3＋2)上单调递减.
(2)证明 由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0，
仅当x＝0时，g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，
f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点.
综上，f(x)只有一个零点.