一元函数的导数及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
2. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
【解析】∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝＝＝－1，故选C.
3. 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A.－1 B.－2 C.2 D.0
【解析】f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
4. 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )
【解析】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B.
5. 若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A.a≤0 B.a<1
C.a<2 D.a≤
【解析】∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，
∴a≤0.
6. 已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
【解析】∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
7. 当0
A.f2B.fC.fD.f【解析】根据0所以根据对数函数的单调性可知，当00，
从而可得f′>0，函数f单调递增，
所以f而f2＝2>0，
所以有f8. 函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A.[1，] B.[1，＋∞)
C.(1，] D.(1，＋∞)
【解析】∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，如图所示，
∴1≤m≤.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
【解析】k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，
而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
10. 当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A.a B.0 C.－a D.a2
【解析】y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
11. 设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为( )
A. B. C. D.
【解析】f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则
φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z).
又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝.
12. 如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A.在区间(－2，1)上，f(x)单调递增
B.在(1，2)上，f(x)单调递增
C.在(4，5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
【解析】由题图知当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，
所以在(1，2)，(4，5)上，f(x)单调递增，
当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，
所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________.
【解析】∵y′＝－，
∴y′|x＝3＝－1，
∴在点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
14. 已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为________.
【解析】因为y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，
所以y′＝e2x＋4×(2x＋4)′－×(2x＋5)′
＝e2x＋4×2－×2
＝e2x＋4－，
所以y′|x＝－2＝1－2＝－1.
设该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为α，
则tan α＝－1，
又α∈[0，π)，所以α＝，
所以该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为.
15. 函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，
∵函数f(x)有极大值和极小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝4a2－4a－8＞0，
解得a＞2或a＜－1.
16. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则实数a的取值范围为________.
【解析】∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0，1)，∴0解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
【解析】(1)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin(1－2cos2)
＝2sin ＝2sin cos
＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
18. 已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1).
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1).
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立.
令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围为.
19. 设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
【解析】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
∴f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点.
20. 已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值.
【解析】(1)f′(x)＝－2bx(x>0).
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>1，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
21. 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
【解析】∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 28 －4
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为(－∞，－3].
22. 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，
由题意得
解得a＝，b＝4(经检验满足题意).
∴f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2因此，当x＝－2时，f(x)取得极大值，当x＝2时，f(x)取得极小值－.
∴函数f(x)＝x3－4x＋4的大致图象如图所示.
由图可知，实数k的取值范围是.一元函数的导数及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
2. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
3. 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A.－1 B.－2 C.2 D.0
4. 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )
5. 若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A.a≤0 B.a<1
C.a<2 D.a≤
6. 已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
7. 当0A.f2B.fC.fD.f8. 函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A.[1，] B.[1，＋∞)
C.(1，] D.(1，＋∞)
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
10. 当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A.a B.0 C.－a D.a2
11. 设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为( )
A. B. C. D.
12. 如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A.在区间(－2，1)上，f(x)单调递增
B.在(1，2)上，f(x)单调递增
C.在(4，5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________.
14. 已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为________.
15. 函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
16. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则实数a的取值范围为________.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
18. 已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1).
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
19. 设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
20. 已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值.
21. 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
22. 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.