第六章《平面向量及其应用》综合测试
一、单项选择题
1、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
2、向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6 B．5
C．1 D．－6
3、已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
4、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )
A． B．
C． D．
5、如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A． B．
C．1 D．3
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
7、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
8、已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
二、多项选择题
9、下列命题中正确的有( )
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10、下列命题不正确的是( )
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
11、如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥BA，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有( )
A.sin A＝
B.BD＝2
C.5＝3
D.△CBD的面积为
12、已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
A.||＝||
B.||＝||
C.·＝·
D.·＝·
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
14、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
15、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________.
16、如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________m2.
四、解答题
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
18、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
19、如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
21、已知向量a＝(sin x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
22、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.第六章《平面向量及其应用》
综合测试（答案）
一、单项选择题
1、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( A )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
2、向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( A )
A．6 B．5
C．1 D．－6
3、已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( B )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B．
4、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( A )
A． B．
C． D．
解： 由cos C＝
得＝，
∴AB＝3，∴cos B＝＝＝，故选A．
5、如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( B )
A． B．
C．1 D．3
解：设＝λ(λ>0)，
＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋，
因为＝m＋，
所以＝，得λ＝，所以m＝1－λ＝，故选B．
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( C )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解：因为＝，
所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
7、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( B )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解：如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．
而2＝2＝，
当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.
8、已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于( B )
A． B．2
C．3 D．4
解：由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，
则PD⊥BC，又＋＋＝0，
所以＝－(＋)＝－2，
所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，
故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，
由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，
所以△ABC的面积为×2×2＝2.
二、多项选择题
9、下列命题中正确的有( AD )
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10、下列命题不正确的是( ABC )
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
11、如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥BA，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有( AC )
A.sin A＝
B.BD＝2
C.5＝3
D.△CBD的面积为
解：由cos 2∠ABC＝－，
得2cos2∠ABC－1＝－，又∠ABC为钝角，解得cos∠ABC＝－，
由余弦定理得＝a2＋4－4a×，解得a＝2，可知△ABC为等腰三角形，即A＝C，所以cos∠ABC＝－cos 2A＝－(1－2sin2A)＝－，解得sin A＝，故A正确；
可得cos A＝＝，在Rt△ABD中，＝cos A，得AD＝，可得BD＝＝＝1，故B错误，CD＝b－AD＝－＝，可得＝＝，可得5＝3，故C正确，所以S△BCD＝×2××＝，故D错误.综上知，应选AC.
12、已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( AC )
A.||＝||
B.||＝||
C.·＝·
D.·＝·
解：由题意可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，
取β＝，则P2，
则||≠||，故B错误；
因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误.
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝____－____.
14、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____2____.
解：由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
15、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为____3____.
解：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又＝(1，0)，＝(0，2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
16、如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________m2.
解： 在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，
AB＝100，
∴SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2，
∴SOACB＝1002，
令tan φ＝2，则SOACB＝1002.
∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为
(10 000＋25 000)m2.
四、解答题
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2) ∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
18、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
解：(1)在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明 因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
19、如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，
OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得
cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×4＝.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，
则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝×4×4sin θ＋×4×4·sin
＝24sin θ＋8cos θ＝16sin.
由于θ∈，所以θ＋∈，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
21、已知向量a＝(sin x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
解：(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin，
则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin＝1，
∵A∈，∴2A－∈，
∴2A－＝，∴A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＝2，
从而S＝bcsin A＝.
22、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝时，|＋|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
