平面向量及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
【解析】如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线.
2. 如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
【解析】∵＝＋＝a＋c，
∴＝－＝a＋c－b.
3. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
【解析】如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)
＝×2＝.
4. 在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
【解析】由·＝0，知AB⊥BC.
由＝，知BC平行AD，且BC=AD
所以四边形ABCD是矩形.
5. 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A. B.－
C.± D.1
【解析】∵3a＋2b与λa－b垂直，
∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
∴λ＝.
6. 已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A.3 B.－3
C.0 D.2
【解析】由平面向量的基本定理，得
则①－②得x－y＝3.
7. 已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A.(2，1) B.(－6，－3)
C.(－1，2) D.(－4，－8)
【解析】易知＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2).
当a＝(－4，－8)时，a∥，且方向相反.
8. 平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B.2
C.4 D.12
【解析】a＝(2，0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1·cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
【解析】在A中，＋＋＝＋＝；
在B中，＋＋＝＋＝；
在C中，＋＋＝＋＝；
在D中，＋＋＝＋＝.
10. 下面几种说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，其余正确.
11. 已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，若|3a＋b|≤，则向量a与b的夹角θ可以为( )
A.30° B.45°
C.120° D.150°
【解析】∵|a|＝|b|＝1，|3a＋b|≤，
∴(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6a·b＋1≤7，
∴a·b≤－，
∴cos θ＝≤－，
又0°≤θ≤180°，
∴θ可以为选项中的120°或150°.
12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝，A＝45°，则cos B的值可以为( )
A. B.
C.－ D.－
【解析】由正弦定理，得＝，
∴sin B＝，
又b>a，所以B＝60°或B＝120°.
∴cos B＝或cos B＝－.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中，M是BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝________.
【解析】据题意及向量的加法，知＋＝2，
所以(＋)·(＋)＝·(＋)
＝2·＝2||||cos 0°
＝2×××1＝.
14. 飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________ km/h.
【解析】如图所示，
|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h).
15. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________.
【解析】由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，
又0
则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
【解析】在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
又a＝1，故由正弦定理得b＝＝.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
【解析】(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，∴1－2×1×2·cos θ＋4＝7，
∴cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵a⊥c，∴a·(ta＋b)＝0，
∴ta2＋a·b＝0，∴t＋1×2×＝0，
∴t＝1，
∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×＋4＝3，
∴|c|＝.
18. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
(1)若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小；
(2)若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2.
【解析】(1)由余弦定理得2b·－2a＋c＝0，得a2＋c2－b2＝ac，
则cos B＝＝＝，
因为0(2)由tan B＝1，0由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝52－2×4－2×4×＝17－8.
19. 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.
【证明】建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1).
设点P坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2，1)，
∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝＝2＝||，
即AP＝AB.
20. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【解析】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得
sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
则＋cos C＋sin C＝2sin C，
可得cos(C＋60°)＝－，
因为0°故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin C＋cos C＝1－sin .
(1)求sin C的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求c的值.
【解析】(1)由已知得sin C＋sin ＝1－cos C，
∴sin ＝2sin2.
由sin ≠0，得2cos ＋1＝2sin
∴sin －cos ＝.
两边平方，得1－sin C＝，∴sin C＝.
(2)由sin －cos ＝>0，
得<<，即则由sin C＝，得cos C＝－.
由a2＋b2＝4(a＋b)－8，
得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8＋2，∴c＝＋1.
22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【解析】(1)由·＝2，得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得
sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.平面向量及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
2. 如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
3. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
4. 在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
5. 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A. B.－
C.± D.1
6. 已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A.3 B.－3
C.0 D.2
7. 已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A.(2，1) B.(－6，－3)
C.(－1，2) D.(－4，－8)
8. 平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B.2
C.4 D.12
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
10. 下面几种说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
11. 已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，若|3a＋b|≤，则向量a与b的夹角θ可以为( )
A.30° B.45°
C.120° D.150°
12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝，A＝45°，则cos B的值可以为( )
A. B.
C.－ D.－
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中，M是BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝________.
14. 飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________ km/h.
15. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________.
16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
18. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
(1)若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小；
(2)若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2.
19. 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.
20. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin C＋cos C＝1－sin .
(1)求sin C的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求c的值.
22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.