第六章 平面向量及其应用章末检测
单项选择题
1、设向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
2、如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
3、已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
4、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
5、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )
A． B．
C． D．
6、已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A． B．
C．6 D．
7、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上的点，∠DBC＝60°，若△ABC的面积为，则BD取到最大值时，AC的长度为( )
A．2 B．2
D．
8、自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行过程中，·的最大值为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
多项选择题
9、下列命题中的真命题是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
10、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
11、已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
A.||＝|| B.||＝||
C.·＝· D.·＝·
12、在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
14、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值为________.
15、已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________.
16、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
四、解答题
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
19、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
20、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C．
21、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
22、在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.第六章 平面向量及其应用章末检测（答案）
单项选择题
1、设向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为( A )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
2、如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝( D )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
3、已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( B )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
4、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( B )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
5、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( A )
A． B．
C． D．
6、已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( A )
A． B．
C．6 D．
7、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上的点，∠DBC＝60°，若△ABC的面积为，则BD取到最大值时，AC的长度为( A )
A．2 B．2
D．
8、自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行过程中，·的最大值为( C )
A．18 B．24
C．36 D．48
多项选择题
9、下列命题中的真命题是( BC )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
10、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( ACD )
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
11、已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( AC )
A.||＝||
B.||＝||
C.·＝·
D.·＝·
12、在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( BD )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝___－_____.
14、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值为____2____.
15、已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为____3____.
16、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是___4_____，最大值是____2____．
四、解答题
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2) ∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解：(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
19、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝时，|＋|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
20、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C．
解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°.
解得c1＝－2(舍去)，c2 ＝2，从而a＝2.
△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝.
而0°21、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin ，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin 取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.
22、在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
解 (1)选①，由正弦定理得
＝，
∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝1，
即sin＝，
∵0＜B＜π，∴－＜B－＜，
∴B－＝，∴B＝.
选②，∵2bsin A＝atan B＝，
∴由正弦定理可得
2sin Bsin A＝sin A·，
∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
选③，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由已知结合正弦定理可得，
(a－c)a＋c2＝b2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，
即3ac＝16－b2，∴16－b2≤3，
解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，
此时△ABC的面积S＝acsin B＝.
