平面向量及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 下列结论中，正确的是( )
A.2 023 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【解析】一个单位长度取作2 023 cm时，2 023 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误，B正确；
C中两向量为平行向量，故C错误；
D中表示从点A到点B的位移，故D错误.
2. 如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
【解析】∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.
∴DC＝AB且DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形.
3. 在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝( )
A. B.
C. D.
【解析】＋－＝－＝.
4. 在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝.
5. 已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A.3 B.－3
C.－3 D.3
【解析】由数量积的定义，得
a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B.
6. 已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝( )
A.16 B.256
C.8 D.64
【解析】∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，
∴|2a＋3b|＝16.
7.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1
B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2
D.e1＋e2，e1－e2
【解析】选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
8. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )
A.(2，4) B.(3，5)
C.(1，1) D.(－1，－1)
【解析】由平行四边形法则，得＋＝，
∴＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，
则＝(1，1).
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A.存在实数x，使a∥b
B.存在实数x，使(a＋b)∥a
C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
【解析】只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
A，B，C选项可根据两向量共线的充要条件验证均不正确.
10. 设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )
A.|a|＝b2 B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
【解析】|a|＝b2＝2，故A正确，B，C显然错误.
a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b，故D正确.
11. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
【解析】设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<).
则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大.
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小.
12. 在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________.
【解析】∵＝＋＝(＋)＝(－1，2)，
∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.
14. 在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.
【解析】由正弦定理得＝ ，
所以sin B＝.
又a>b，所以A>B，所以B＝，
所以C＝π－＝.
15. 在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________
【解析】∵sin B＝2sin A，∴b＝2a，
又a＋c＝3，∴c＝3－a，
∴cos C＝＝＝，
整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).
16. 一艘船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km.
【解析】如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，
AB＝22×＝33(km)，
由正弦定理，得＝，
∴SB＝66(km).
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
【解析】在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°，
又a＋c＝8，ac＝15，
故由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.
∴b＝.
18. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1，
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
【解析】(1)因为cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且0°所以C＝120°.
(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，所以
所以AB2＝b2＋a2－2abcos 120°
＝(a＋b)2－ab＝10，
所以AB＝.
19. 在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
【解析】∵A＋B＋C＝180°，
∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R，
∴c＝＝＝5，
∴2R＝＝＝10，∴R＝5.
20. 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
【解析】∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∵0°当C＝60°时，B＝75°，
b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，
b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
21. 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.
【解析】设三角形外接圆半径为R，
则a2tan B＝b2tan A ＝，
即＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B
sin 2A＝sin 2B
2A＝2B或2A＋2B＝π
A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
22. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值.
【解析】(1)∵＝－，
∴由正弦定理，得＝－，
∴2sin Acos B＝－sin(B＋C)，
∴cos B＝－.
又0(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.平面向量及其应用检测（基础卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 下列结论中，正确的是( )
A.2 023 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
2. 如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
3. 在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝( )
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
5. 已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A.3 B.－3
C.－3 D.3
6. 已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝( )
A.16 B.256
C.8 D.64
7.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1
B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2
D.e1＋e2，e1－e2
8. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )
A.(2，4) B.(3，5)
C.(1，1) D.(－1，－1)
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A.存在实数x，使a∥b
B.存在实数x，使(a＋b)∥a
C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
10. 设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )
A.|a|＝b2 B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
11. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
12. 在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________.
14. 在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.
15. 在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________
16. 一艘船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
18. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1，
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
19. 在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
20. 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
21. 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.
22. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值.
