平面向量及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若点O是△ABC的外心，且＋＋＝0，则△ABC的内角C等于( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
2. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
3. 定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
5. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
6. 已知集合M＝{a|a＝(1，2)＋(3λ1，4λ1)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋(4λ2，5λ2)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A.{(1，1)} B.{(1，1)，(－2，－2)}
C.{(－2，－2)} D.
7. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A.(2，6) B.(－2，6)
C.(2，－6) D.(－2，－6)
8. 已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
10. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
11. 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
12. 某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值可以为( )
A. B.2
C.2 D.3
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则向量与的夹角为______，四边形ABCD的面积为________.
14. 在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________.
15. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.
16. 点O为△ABC所在平面内一点，·＝·，＝λ，则△ABC的形状为________三角形.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
18. 如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cos θ＝，θ∈)方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
参考数据：cos(θ－45°)＝.
19. 设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin·sin＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若·＝12，a＝2，且b＜c，求b，c的值.
20. 在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围.
21. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
22.△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝.
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形.平面向量及其应用检测（能力卷）
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若点O是△ABC的外心，且＋＋＝0，则△ABC的内角C等于( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
【解析】由＋＋＝0，
所以＋＝，
因而四边形OACB为平行四边形，
又点O是△ABC的外心，所以||＝||＝||＝||＝||，
所以∠ACO＝∠BCO＝60°，
故∠ACB＝120°.
2. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
【解析】∵△DEF∽△BEA，
∴＝＝，∴DF＝AB＝DC，
∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
3. 定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
【解析】cos θ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.
∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
4. 已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2
＝·cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，∴＝.
5. 已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又2 ＝x＋y，且与不共线，
∴1＋λ＝且－λ＝，
因此＋＝1，即x＋y－2＝0.
6. 已知集合M＝{a|a＝(1，2)＋(3λ1，4λ1)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋(4λ2，5λ2)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A.{(1，1)} B.{(1，1)，(－2，－2)}
C.{(－2，－2)} D.
【解析】令(1，2)＋(3λ1，4λ1)＝(－2，－2)＋(4λ2，5λ2)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴解得
M∩N＝{(－2，－2)}.
7. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A.(2，6) B.(－2，6)
C.(2，－6) D.(－2，－6)
【解析】设d＝(x，y)，
易知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝4c－4b－6a，
又a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，
∴d＝4(－1，－2)－4(－2，4)－6(1，－3)＝(－2，－6).
8. 已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
【解析】由a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，得
a·b＝－10，
故(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）
9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
【解析】由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确，其余一定正确.
10. 下列说法正确的是( )
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，＝
【解析】对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B a>b A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确.
11. 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
【解析】∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)·(1－tan Atan B)，
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＋tan C
＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C
＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，∴sin A＝sin B，∴A＝B，
则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.
12. 某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值可以为( )
A. B.2
C.2 D.3
【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，
即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°.
∴x2－3x＋6＝0.
解得x＝2或x＝.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则向量与的夹角为______，四边形ABCD的面积为________.
【解析】由·＝1×(－4)＋2×2＝0知⊥，
故向量与的夹角为.
又∵||＝，||＝＝2，
∴S＝||||＝××2＝5.
14. 在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________.
【解析】如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，
又AD＝BC＝BD，
∴BC＝3，DC＝2，AC＝＝.
在△ABC中，由正弦定理知，sin ∠BAC＝＝＝.
15. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.
【解析】依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理的推论得
cos ∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
16. 点O为△ABC所在平面内一点，·＝·，＝λ，则△ABC的形状为________三角形.
【解析】∵·＝·，
∴·(－)＝·＝0，
∴OA⊥BC.
∵＝λ，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴AO既是BC边的高，也是∠BAC的平分线，
∴△ABC是等腰三角形.
解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）
17. 如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【证明】＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因为与大小相等，方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
18. 如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cos θ＝，θ∈)方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
参考数据：cos(θ－45°)＝.
【解析】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴2＝(＋)2
＝2＋2＋2·
＝2＋2－2||||cos(θ－45°)
＝3002＋(20t)2－2×300×20t·
＝100(4t2－96t＋900).
依题意得2≤(60＋10t)2，
解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭.
19. 设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin·sin＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若·＝12，a＝2，且b＜c，求b，c的值.
【解析】(1)因为sin2A＝sin·sin＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，
所以sin A＝或－，
又A为锐角，所以A＝.
(2)由·＝12，可得cbcos A＝12，①
由(1)，知A＝，
所以cb＝24，②
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，a＝2及①，得c2＋b2＝52，③
由②③得(c＋b)2＝100，
所以c＋b＝10，
所以c，b是一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根，
由b＜c，解得c＝6，b＝4.
20. 在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围.
【解析】由正弦定理，得＝＝，
即＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为
L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin，
又B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，∴L∈(2，3].
即△ABC的周长的取值范围为(2，3].
21. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值.
【解析】(1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0
(2)由正弦定理，得sin B＝＝，
所以B＝或.
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
22.△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝.
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形.
【解析】由正弦定理，得＝，
则＝，所以b＝2sin B.
所以当B＝时，sin B取得最大值1，此时b取最大值.
则b的最大值为2.
(2)证明 因为A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝·bc·＝，
解得bc＝2.①
由余弦定理，得
cos A＝＝，
得＝，
解得b＋c＝3.②
由①②，解得或
当时，由b2＋a2＝12＋()2＝22＝c2 ，
则由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.
当时，由c2＋a2＝12＋()2＝22＝b2，
则由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.
综上，△ABC是直角三角形.