第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
a 1,2,3 ,b (3,0, 1),c 1 31．已知 ( ,1, )给出下列等式：
5 5
① | a b c | | a b c |；② (a b) c a (b c) 2 2 2；③ (a b c)2 a b c
④ (a b) c a (b c) .其中正确的个数是
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD上一点，则PA PC1 的取值范围是（ ）
[ 1, 1] [ 1 1A． B． , ] C．[ 1,0] D 1．[ ,0]
4 2 4 2
3．空间任意四个点 A、B、C、D，则BA CB CD 等于
A．DB B． AD C．DA D． AC
4 ．三棱锥O ABC 中，M ， N 分别是 AB ，OC 的中点，且OA a ，OB b ，OC c ，用 a，b ， c 表示
NM ，则 NM 等于 ( )
1 ( a b c 1
A． ) B． (a
b c) C 1 (a b c ) D 1 ( a b ． ． c)
2 2 2 2
5．如图,在四面体OABC 中, D是BC 的中点,G 是 AD 的中点,则OG 等于（ ）
1 1 1 1 1 1
A． OA OB OC B． OA OB OC
3 3 3 2 3 4
1 1 1 1
C． OA OB
1
OC D． OA OB
1
OC
2 4 4 4 4 6
6．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N 分别是棱 AB ，BB1的中点，点 P 在对角线CA1上运动.当
△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点 A1 B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
7．在空间直角坐标系中,正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2, E为正方体的棱 AA1 的中点, F 为棱 AB 上的一点,
且 C1EF 90
则点F 的坐标为
2, 1 ,0 1 1 2 A． 4
B． 2, ,0 C． 2, ,0 D3 2 ．
2, ,0
3
8．已知空间直角坐标系O xyz中，OA 1, 2,3 ，OB 2,1, 2 ，OP 1,1,2 ，点Q在直线OP上运动，则
当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
1 , 3 , 1 1 , 3 , 3 4 4 8A B C , ,
4 , 4 7 ． D ,
2 4 3
．
2 2 4
．
3 3 3
．
3 3 3
9．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 2AB ，则 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于
2 1
A． B 3． C 2． D．
3 3 3 3
10．在三棱柱 ABC - A1B1C1中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点 E,F 分别是棱 AB,BB1的中点, 则
直线 EF 和 BC1所成的角是
A．30° B．45° C．90° D．60°
二、多选题
11．将正方形 ABCD沿对角线BD折成直二面角 A BD C ，有如下四个结论：① AC BD ；② △ACD
是等边三角形；③ AB 与平面BCD所成的角为60 ；④ AB 与CD 所成的角为60 .其中正确的结论有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．在三棱锥P ABC 中，三条侧棱PA, PB, PC 两两垂直，且PA PB PC 3，G 是△PAB的重心，E，F
分别为BC, PB 上的点，且BE : EC PF : FB 1: 2，则下列说法正确的是（ ）
A．EG PG B．EG BC C．FG//BC D．FG EF
13．设 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，以下结论为正确的有（ ）
A． AB C1A a
2 B． AB A1C1 2a
2
C．BC A1D a
2 D． AB C 21A1 a
14．设 a,b,c是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若 a b，b c，则 a c
B．则 a,b,c 两两共面，但 a,b,c不可能共面
C．对空间任一向量 p ，总存在有序实数组 (x, y, z)，使 p xa yb zc
D．则 a b ，b c ， a c一定能构成空间的一个基底
三、填空题
15．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 A1A a， A1B1 b， A1D1 c ，O为底面的 ABCD的中心，G 为
D1C1O 的重心，则 AG ______.（用 a，b ， c表示 AG ）
16．在四棱锥P ABCD
中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 中点，若PA = a，PB =b ，PC = c ，则BE
=_____．
a
17．已知空间向量 (1， n， 2) ，b ( 2，1 ， 2) ，若 2a b 与b 垂直，则 | a |等于
___________.
18．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB ，E ，F 分别是 PB ，PC 的中点，设异面直线 AE 与BF 所成角的大
小为 ，则 cos ＝__________．
四、解答题
19．如图，已知四棱锥P ABCD ，底面是边长为 2 的正方形， PAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
PB 2 2 ，E 、O分别为PA，BD中点．
（1）求证：OE // 平面PDC
（2）求直线PC 与平面PAB所成角的正弦值．
20．四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， DC SD 2，点 M 是侧棱 SC 的中点，
AD 2 ．
（Ⅰ）求异面直线CD 与 BM 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 S AM B 的正弦值．
21．如图，三棱锥O ABC 各棱的棱长都是1，点D是棱 AB 的中点，点E 在棱OC 上，且OE OC ，记OA a ，
OB b OC ， c .
（1）用向量 a，b ， c 表示向量DE ；
（2）求 | DE |的最小值.
22．（2021 甲卷）已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形， AB BC 2 ， E ， F 分别为
AC 和CC1 的中点， D 为棱 A1B1上的点， BF A1B1．
（1）证明： BF DE ；
（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？第一章 空间向量与立体几何【压轴题专项训练】
一、单选题
1．已知a 1,2,3 ,b (3,0, 1),c ( 1 ,1, 3 )给出下列等式：
5 5
① | a b c | | a b c | 2 2 2；② (a b) c a (b c)；③ (a b c)2 a b c
④ (a b) c a (b c) .其中正确的个数是
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【详解】
19 a b c ( ,3, 7) a b c 635 635由题设可得 ，则 ；
5 5 25 5
a b c ( 9
,1, 23) a b c 635， ，则①正确；
5 5 25
(a b) c (4, 2, 2) ( 1 ,1, 3因 )
4 6
2 0，
5 5 5 5
a (b c ) (1, 2,3) (14 ,1, 8) 14 2 24 0，故②正确；
5 5 5 5
又因 (a b c
)2 635 127 a2，而 14,b 2 10,c
2 35 7 ，
25 5 25 5
所以 a
2 b 2 c 2 24 7 127 ，即③正确；
5 5
(a
又 a b 3 0 3 0，则 b) c 0，
b c 3
而 0
3
0 a ，故 (b c) 0，也即④正确.
5 5
故选：D．
2．点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD上一点，则PA PC1 的取值范围是（ ）
[ 1, 1 1A． ] B．[ ,
1
] C．[ 1,0] D [ 1． ,0]
4 2 4 2
【答案】D
【分析】
以点D为原点，以DA所在的直线为 x轴，以DC 所在的直线为 y 轴，以DD1 所在的直线为 z 轴，建立空间
直角坐标系，写出各点坐标，同时设点 P 的坐标为 (x, y, z)，其中0 x 1,0 y 1, z 1，用坐标运算计算出
PA PC1 ，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．
【详解】
以点D为原点，以DA所在的直线为 x轴，以DC 所在的直线为 y 轴，以DD1 所在的直线为 z 轴，建立空间
直角坐标系，如图所示；
则点 A(1,0,0),C1(0,1,1)设点 P 的坐标为 (x, y, z)，由题意可得 0 x 1,0 y 1, z 1，
PA (1 x, y, 1), PC1 ( x,1 y,0)
2 2
PA PC x(1 x) y(1 y) 0 x2 x y2 y x 1 y 1 11 ， 由二次函数的性质可得，当
2 2 2
1 x y 1 时PA PC1 取得最小值为 ；2 2
当 x 0 或 1，且 y 0或 1 时，PA PC1 取得最大值为 0，
1
则PA PC1 的取值范围是 ,0 2
故选 D．
【点睛】
本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标
表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．
3．空间任意四个点 A、B、C、D，则BA CB CD 等于
A．DB B． AD C．DA D． AC
【答案】C
【分析】
利用平面向量运算法则即可得出．
【详解】
BA CB CD CA DC DA.．
故选 C.
【点睛】
本题考查了平面向量运算法则，属于基础题．
4．三棱锥O ABC M N AB OC OA a OB b OC c 中， ， 分别是 ， 的中点，且 ， ， ，用 a，b ， c 表示
NM ，则 NM 等于 ( )
1 ( a b c 1
A． ) B． (a
b c) C 1 (a 1 ． b c)2 D． ( a b c)2 2 2
【答案】B
【分析】
1 1 1
利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得： NM (NA NB) ， AN (AO AC) ， BN (BO BC)2 2 2 ，
AC OC OA，BC OC OB ，代入化简即可得出．
【详解】
1 1
解： NM (NA NB) ， AN (AO AC) ， BN
1
(BO BC)
2 2 2 ， AC OC OA，BC OC OB ，
1 1 1 MN (AN 1 BN ) OA OB OC
2 2 2 2
1 1
a b 1 c
2 2 2 ，
NM 1 a 1
b 1 c
2 2 2 ，
故选： B ．
【点睛】
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档
题．
5．如图,在四面体OABC 中, D是BC 的中点,G 是 AD 的中点,则OG 等于（ ）
1 1 1 1 1
A． OA OB OC B． OA OB
1
OC
3 3 3 2 3 4
1 1 1 1 1
C． OA OB OC D． OA OB
1
OC
2 4 4 4 4 6
【答案】C
【分析】
1
因为在四面体OABC 中, D是BC 的中点,G 是 AD 的中点,OE OA AD ,即可求得答案.
2
【详解】
在四面体OABC 中, D 是BC 的中点,G 是 AD 的中点
1 OG OA AD
2
1 1
OA (AB AC)
2 2
OA 1
(OB OA OC OA)
4
1
OA 1 OB 1 OC
2 4 4
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能
力,属于基础题.
6．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N 分别是棱 AB ，BB1的中点，点 P 在对角线CA1上运动.当
△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点 A1 B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
【答案】B
【分析】
将问题转化为动点 P 到直线MN 的距离最小时，确定点 P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q，
通过坐标运算可知PQ MN ，即 | PQ |是动点 P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出 | PQ |
后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】
设正方体的棱长为 1，以A 为原点， AB, AD, AA x, y, z1分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
1
则M ( ,0,0) ， N (1,0,
1) 3 1，MN 的中点Q( ,0, )，
2 2 4 4
A1(0,0,1)，C(1,1,0) ，则 A1C (1,1, 1)，
设P(t, t, z)，PC (1 t,1 t, z)，
1 t 1 t z
由 A1C 与PC 共线，可得 ，所以 t 1 z ，所以P(1 z,1 z, z) ，其中0 z 1，1 1 1
因为 | PM | (1 z 1 )2 (1 z 0)2 (z 0)2 3z2 3z 5 ，
2 4
| PN | (1 z 1)2 (1 z 0)2 (z 1 )2 3z2 3z 5 ，
2 4
所以 | PM | | PN |，所以PQ MN ，即 | PQ |是动点 P 到直线MN 的距离，
3
由空间两点间的距离公式可得 | PQ | (1 z )2 (1 z 0)2 (z 1 )2 3z2 3z 9 3(z 1 )2 3 ，
4 4 8 2 8
c 1 6所以当 时， | PQ |取得最小值 ，此时 P 为线段CA1的中点，2 4
由于 | MN | 2 为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时， P 为线段CA1的中点.
4
故选：B
【点睛】
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求
最值，属于基础题.
7．在空间直角坐标系中,正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2, E为正方体的棱 AA1 的中点, F 为棱 AB 上的一点,
且 C1EF 90
则点F 的坐标为
1 1 1 2
A． 2, ,0 B． 2, ,0 C． 2, ,0 D． 2, ,0
4 3 2 3
【答案】C
【详解】
由正方体的性质可得E 2,0,1 ,C1 0,2,2 ，设F 2, y,0 ，则EC1 2, 2,1 , EF 0, y, 1 C EF 90 ，因为 1
1 1
， EC1 EF 2y 1 0 y
，解得 ，则点F 的坐标为 2, ,02 2
，故选 C.
8．已知空间直角坐标系O xyz中，OA 1, 2,3 ，OB 2,1, 2 ，OP 1,1,2 ，点Q在直线OP上运动，则
当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
1 , 3 , 1 1 , 3 , 3 4 , 4 , 8 4 , 4A B C D ,
7
．
2 4 3
．
2 2 4
．
3 3 3
．
3 3 3
【答案】C
【分析】
设Q(x, y, z)
4
，根据点Q在直线OP 上，求得Q( , , 2 ) ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得
3
时，QA QB 取得最小值，即可求解.
【详解】
设Q(x, y, z) ，
由点Q在直线OP 上，可得存在实数 使得OQ OP，
即 (x, y, z) (1,1, 2)，可得Q( , , 2 ) ,
所以QA (1 , 2 ,3 2 ),QB (2 ,1 , 2 2 ) ,
则QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2 )(2 2 ) 2(3 2 8 5)，
4 2 4 4 8
根据二次函数的性质，可得当 时，取得最小值 ，此时Q( , , ) .
3 3 3 3 3
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公
式，得出关于 的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
9．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 2AB ，则 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于
2 1
A． B 3 C 2． ． D．
3 3 3 3
【答案】A
【详解】
3
试题分析：设 AB 1 BD 2, BC1 DC1 5 ， BDC1面积为 V2 C BDC
V
1 C1 BCD
1 3 d 1 1 2 d 2 sin d 2
3 2 3 2 3 CD 3
考点：线面角
10．在三棱柱 ABC - A1B1C1中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点 E,F 分别是棱 AB,BB1的中点, 则
直线 EF 和 BC1所成的角是
A．30° B．45° C．90° D．60°
【答案】D
【分析】
本题可用空间向量的方法先求出向量 EF 和向量 BC 的夹角，再由直线的方向向量所成角与异面直线所成角1
相等或互补的关系，从而可确定结果.
【详解】
1
因为点 E,F 分别是棱 AB,BB 的中点，所以 = - = ( - ), ，1 EF BF BE 2 BB1 BA BC
=
1 BC BB1
1 1
所以 = ( EF BC BB - )（ BC BB ）= （ ）
2
BA ，设所求异面直线的夹角为θ，则1 2 1 1 2 BB1
cosθ = EF BC1
1
= ，所以
2 θ 60
.
EF BC1
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，常用方法由几何法和空间向量的方法.几何法即是在几何体中作出异面直线所
成的角或所成角的补角，解三角形即可；空间向量的方法可通过求直线方向向量的夹角来确定异面直线所
成的角.
二、多选题
11．将正方形 ABCD沿对角线BD折成直二面角 A BD C ，有如下四个结论：① AC BD ；② △ACD
是等边三角形；③ AB 与平面BCD所成的角为60 ；④ AB 与CD 所成的角为60 .其中正确的结论有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【分析】
根据题意，建立空间直角坐标系，用向量知识依次讨论即可得答案.
【详解】
解：取BD中点O，由正方形的性质得： AO BD,CO BD ，
所以 AOC 为二面角 A BD C 的平面角，
因为二面角 A BD C 是直二面角 A BD C ，
所以如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，
设正方形 ABCD的边长为 2 ，
则D(1,0,0), B( 1,0,0),C(0,0,1), A(0,1,0)
所以 AC 0, 1,1 ，BD 2,0,0 ，CD 1,0, 1 ， AD 1, 1,0 ， AB 1, 1,0 ，
因为 AC BD 0 =0，故 AC BD ，①正确.
又 AC 2 ， CD = 2 ， AD = 2 ，
所以△ACD为等边三角形，②正确.
对于③ ，OA为平面BCD的一个法向量，OA 0,1,0
cos OA, AB OA AB 1 2
.
OA AB 2 2
因为直线与平面所成的角的取值范围是 0 ,90 ，
所以 AB 与平面BCD所成的角为 45 ，故③错误.
cos CD, AB CD AB 1
又 ，
CD AB 2
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以 AB 与CD 所成的角为60 ，故④正确.
故选：ABD
【点睛】
本题解题的关键是建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决立体几何问题，考查运算求解能力，空间
思维能力，是中档题.
12．在三棱锥P ABC 中，三条侧棱PA, PB, PC 两两垂直，且PA PB PC 3，G 是△PAB的重心，E，F
分别为BC, PB 上的点，且BE : EC PF : FB 1: 2，则下列说法正确的是（ ）
A．EG PG B．EG BC C．FG//BC D．FG EF
【答案】ABD
【分析】
取PA a, PB b, PC c，以{a,b,c}为基底表示EG ，FG ，EF
，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【详解】
如图，设PA a, PB b, PC c，则{a,b,c}是空间的一个正交基底，
2 2 1 PG PH (a b) 1
1
则a b a c b c 0 ，取 AB 的中点 H，则 a b ，3 3 2 3 3
1 1 2 1 1 1 1 EG PG PE a b b c a b c, BC c b，
3 3 3 3 3 3 3
FG PG PF 1 a 1
1 1
b b a ，
3 3 3 3
EF PF PE 1 b 1 c
2
b 1 1 c b，
3 3 3 3 3
∴ EG PG 0，A 正确；EG BC 0，B 正确；FG BC( R) ，C 不正确；FG EF 0，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，
属于中档题.
13．设 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，以下结论为正确的有（ ）
A． AB C1A a
2 B． AB A1C1 2a
2
C．BC A 21D a D． AB C1A1 a
2
【答案】AC
【分析】
利用向量数量积的几何意义，对照选项一一验证，即可得答案；
【详解】
如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
C A
对 A， a1 在 AB 方向上的投影为 ， AB C1A a
2，故 A 正确；
AC
对 B， a 21 1 在 AB 方向上的投影为 ， AB A1C1 a ，故 B 错误；
对 C， A1D在BC 方向上的投影为 a ， BC A D a
2
1 ，故 C 正确；
对 D，C1A1 在 AB 方向上的投影为 a ， AB C
2
1A1 a ，故 D 错误；
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义的应用，考查空间想象能力、运算求解能力.
14．设 a,b,c是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若 a b，b c，则 a c
B．则 a,b,c 两两共面，但 a,b,c不可能共面
C．对空间任一向量 p ，总存在有序实数组 (x, y, z)，使 p xa yb zc
D．则 a b ，b c ， a c一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】
根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.
【详解】
由 a,b,c是空间一个基底，知：
在 A 中，若 a b，b c，则 a与 c的夹角不一定是 ，故 A 错误；2
在 B 中， a,b,c 两两共面，但 a,b,c不可能共面，故 B 正确；
在 C 中，根据空间向量的基本定理可知 C 正确；
在 D 中，因为 a,b,c不共面，假设 a b ，b c ， a c共面，设 a b x(b c) (1 x)(a c)，化简得
c xa (1 x)b，可得 a,b,c共面，与已知矛盾，所以 a b ，b c ， a c不共面，可作为基底，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：
（1）如果 a,b,c 是基底，则 a,b,c一定不共面；
（2）对空间中任意向量，都可以用基底向量 a,b,c进行表示；
（3）如果 a mb nc,m n 1，则 a,b,c共面.
三、填空题
15．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 A1A a， A1B1 b， A1D1 c ，O为底面的 ABCD的中心，G 为
D1C1O
的重心，则 AG ______.（用 a，b ， c表示 AG ）
2 1 5
【答案】 a b c
3 2 6
【分析】
根据向量的三角形法则和平行四边形法则化简计算即可．
【详解】
解：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
A1A a, A
1B1 b , A1D1 c ，O为底面 ABCD的中心，G 为△ D1C1O 的重心，
AG AO OG
1 1
(AB AD) (OD1 OC )2 3 1
1 1 1 1
(b c) [ (BA BC) DD1 (AB AD) CC1]2 3 2 2
1 1 (b c) ( b c ) 1 a 1
1
(b c) a
2 6 3 6 3
2
a 1 b 5 c
3 2 6 ．
2 a 1
5
故答案为： b c3 2 6 ．
【点睛】
本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16．在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 中点，若PA = a，PB =b ，PC = c ，则BE
=_____．
1 a 3
【答案】 b
1
c
2 2 2
【分析】
1
根据底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 中点，向量加法的平行四边形法则得到BE (BP BD)，而
2
BD BA BC (PA PB) (PC PB) ，即可求得BE的结果.
【详解】
1 1 1 1
解：BE (BP BD) = 12 ( b + BA BC )= b + (PA PB PC PB )= b +
1
2 (a c 2b) =2 2 2 2
1 3 a b 1 c ．
2 2 2
1 3 1
故答案为： a b c
.
2 2 2
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要
求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
17．已知空间向量 a (1 n
， ， 2) ，b ( 2 ，1， 2) ，若 2a b 与b 垂直，则 | a |等于
___________.
3 5
【答案】
2
【分析】
利用向量垂直关系， 2a b 与b 垂直，则 (2a
b)·b 0 ，可求得 n，得到向量 a ，进而求模长即可．
【详解】
解： a
(1， n ， 2) ，b ( 2，1， 2) ，
2a b (4 ， 2n 1， 2) ，
2a b 与b 垂直，
(2a b)·b 0，
8 2n 1 4 0，
5
解得， n ，
2
a (1 5， ， 2)
2
a 12 5 3 5 22 ( )2 ．
2 2
3 5
故答案为： .
2
18．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB ，E ，F 分别是 PB ，PC 的中点，设异面直线 AE 与BF 所成角的大
小为 ，则 cos ＝__________．
1
【答案】
3
【分析】
先建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后用向量法求异面直线所成的角即可
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝AB 2 ，OA＝OB OP 1，
A 1,0,0 , B 0,1,0 , E 0, 1 1 , , F
1 ,0, 1
2 2 2 2
1 1 AE 1, , , BF
1 1
2 2
, 1,
2 2
设异面直线 AE 与BF 所成角的大小为 ，
则 cos
A E＝ B F 1
AE BF 3
1
故答案为：
3
四、解答题
19．如图，已知四棱锥P ABCD ，底面是边长为 2 的正方形， PAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
PB 2 2 ，E 、O分别为PA，BD中点．
（1）求证：OE // 平面PDC
（2）求直线PC 与平面PAB所成角的正弦值．
42
【答案】（1）证明见解析；（2）
14
【分析】
（1）连接 AC，可得OE //PC ，进而证明OE // 面PDC ；
（2）建立空间直角坐标系，设 P a,b,c ，根据PA, PD, PB得到方程组求出 P 点坐标，再计算平面 PAB 的法
向量，利用向量夹角公式来求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值．
【详解】
解：（1）证明：连接 AC，因为 ABCD为正方形，O分别为 BD 中点，所以 O 为 AC 中点，故OE //PC ，因
为OE 面PDC ，PC 面PDC ，所以OE // 面PDC ．
（2）AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，过点 A 且垂直底面 ABCD 的直线为 z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系：
A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，
设 P a,b,c ，因为△PAD 为等腰直角三角形，且斜边 AD 2，所以PA PD 2
由PB 2 2 ，
1
a2 b2 c2 2 a 2
a2 (b 2)2即 c2 2
b 1 ，
(a 2)
2 b2 c2 8 c 3
2
P 1 1 3
故点 ，，2 2
，
设平面PAB的法向量为： n x, y, z ，
由 AB
1 3 5 3
2，0，0 ，AP ，1， ，PC ，1， 2 2 2 2
AB n 2x 0
所以 1 3 ，令 y 3 ，则 x 0， z 2
AP n x y z 0
2 2
所以 n
0，3， 2 ，
设直线 PC 与平面PAB所成角为 ，
1 3 3 2
PC n 2
即 sin cos PC,n
42
PC n 2 ．
23 2 2 5
2
12 3
14
2
2
42
所以直线PC 与平面PAB所成角的正弦值为 ；
14
20．四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， DC SD 2，点 M 是侧棱 SC 的中点，
AD 2 ．
（Ⅰ）求异面直线CD 与 BM 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 S AM B 的正弦值．
【答案】（1） ；（2 3） .
3 3
【解析】（Ⅰ）以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 A( 2,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), S(0,0,2) ， M (0，1，1) ，
所以 DC (0,2,0), BM ( 2, 1,1) ，
则 | cos DC, BM | | 0 2 0 | 1 ，
2 2 1 1 2
因为异面直线所成的角为 (0, ] ，
2
所以异面直线CD 与 BM 所成角的大小为 ；
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， AB (0,2,0), AS ( 2,0,2), SC (0,2, 2)，
设平面 SAM 的法向量为m (x, y, z)，
m AS 0 2x 2z 0
则 ，即 ，
m SC 0 2y 2z 0
z 令 1 ，则m ( 2,1,1)，
设平面 AMB 的法向量为 n (a,b,c)，
n AB 0 2b 0
则 ，即 ，
n
BM 0 2a b c 0
令 a 1，则 n (1,0, 2)，
所以 | cos m,n | | m n | 2 0 2 6 ，
| m || n | 2 3 3
故二面角 S AM B 6 3的正弦值为 1 ( )2 ．
3 3
21 ．如图，三棱锥O ABC 各棱的棱长都是1，点D是棱 AB 的中点，点E 在棱OC 上，且OE OC ，记OA a ，
OB b ，OC c .
（1）用向量 a ，b ， c
表示向量DE ；
（2）求 | DE |的最小值.
1 1
【答案】（1）DE a b c 2；（2） .
2 2 2
【分析】
（1）利用空间向量运算求解即可；
（2）结合棱长都是 1，转换成 | DE |2 为关于 的二次函数，求最小值即可.
【详解】
1
（1）DE DA AE BA OE OA
2
1
(OA OB) OC OA 1 a 1 b c .
2 2 2
（2 ）三棱锥棱长都为 1，故 a2 b 2 c 2 1，
a
b a c b c 1 ，
2
2
| DE |2 1 1 a b c
2 2
1 1 2 1
a b a c b c
4 4 2
3 2
( 1) 1 1
，4 2 2
1
故当 2 时， | DE |取得最小值，且 | DE |
1 2
min .2 2
【点睛】
本题考查了空间向量的加减运算，与模长最值问题，属于中档题.
22．（2021 甲卷）已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形， AB BC 2 ， E ， F 分别为
AC 和CC1 的中点， D 为棱 A1B1上的点， BF A1B1．
（1）证明： BF DE ；
（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？
1
【答案】（1）证明见解析；（2） B1D .2
【解析】（1）证明：连接 AF ，
E ， F 分别为直三棱柱 ABC A1B1C1 的棱 AC 和CC1 的中点，且 AB BC 2 ，
CF 1， BF 5 ，
BF A1B1 ， AB / / A1B1，
BF AB
AF AB2 BF 2 22 ( 5)2 3 ， AC AF 2 CF 2 32 12 2 2 ，
AC 2 AB2 BC 2 ，即 BA BC ，
故以 B 为原点， BA ， BC ， BB1 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(2 ，0， 0) ， B(0 ，0， 0) ，C(0 ，2， 0) ， E(1，1， 0) ， F (0 ，2，1) ，
设 B1D m ，则 D(m，0， 2) ，
BF (0 ，2，1) ， DE (1 m ，1， 2)，
BF DE 0，即 BF DE ．
（2）解： AB 平面 BB1C1C ， 平面 BB1C1C
的一个法向量为 p (1，0， 0) ，
由（1）知， DE (1 m ，1， 2) ， EF ( 1，1，1) ，
n DE 0 (1 m)x y 2z 0
设平面 DEF 的法向量为 n (x ， y ， z)，则 ，即 ，
n EF 0 x y z 0
令 x 3，则 y m 1， z 2 m ， n (3，m 1， 2 m)，
cos p p
n n 3 3 3 ， ，| p | | n | 1 9 (m 1)2 (2 m)2 2m2 2m 14 2(m 1)2 27
2 2
1
当m 时，面 BB C C 与面 DFE 所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
2 1 1
1
故当 B1D 时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小．2
