第二章 直线和圆的方程
一、单选题
1．直线 x y 2 0分别与 x轴， y 2轴交于A ， B 两点，点 P 在圆 x 2 y2 2上，则△ABP面积的取值
范围是
A． 2，6 B． 4，8 C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 2
2．已知点 A 2, 3 , B 3, 2 ，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l的斜率 k 的取值范围是（ ）
k 3A． 或 k 4 B． 4 k
3 1 3
C． k D． k 4
4 4 5 4
3．两圆 x2 y2 2ax a2 4 0和 x2 y2 4by 1 4b2 0 恰有三条公切线，若 a R,b R且 ab 0，则
1 1
2 2 的最小值为a b
1 4
A．1 B．3 C． D．
9 9
1 1
4．过圆O : x2
y2 1内一点 ,
作直线交圆 O 于 A，B 两点，过 A，B 分别作圆的切线交于点 P，则点 P
4 2
的坐标满足方程（ ）
A． x 2y 4 0 B． x 2y 4 0 C． x 2y 4 0 D． x 2y 4 0
5．在平面直角坐标系中，已知点 P a,b 满足 a b 1，记 d 为点 P 到直线 x my 2 0的距离.当 a,b, m变
化时， d 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若实数 x, y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
7．已知圆C : (x m)2 (y 2m 1)2 2m2 ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；
②有无数条直线与所有的圆都相交；
③存在与所有圆都没有公共点的直线；
④所有的圆都不过原点.
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 x, y R ，则 (y 1)2 4 (x 2)2 1 x2 y2 的最小值为（ ）
A． 5 B．3
C． 2 5 D．6
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 y ax 2a 1必过定点（2，1）
B．直线3x 2y 4 0在 y 轴上的截距为－2
C．直线 3x y 1 0的倾斜角为 120°
D．若直线 l沿 x轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则该直
2
线 l的斜率为
3
10．已知点 P 是直线3x 4y 5 0上的动点，定点Q 1,1 ，则下列说法正确的是（ ）
4
A．线段 PQ 的长度的最小值为
5
B．当 PQ 最短时，直线 PQ 的方程是3x 4y 7 0
13
C．当 PQ 最短时 P 的坐标为 ,
41
25 25
2
D．线段 PQ 的长度可能是
3
11．（2021 佛山模拟）已知圆C 2 2 21 : x y r ，圆C2 : (x a)
2 (y b)2 r 2 ， (r 0，且 a ，b 不同时
为0) 交于不同的两点 A(x1， y1) ， B(x2 ， y2 )，下列结论正确的是
A． 2ax 2by a21 1 b
2
B． a(x1 x2 ) b(y1 y2 ) 0
C． x1 x2 a ， y1 y2 b
D． M ， N 为圆C 上的两动点，且 | MN | 3r ，则 | OM ON |的最大值为 a2 b22 r
三、填空题
12 C x 1 2．已知 为圆： y2 1上一动点，点 B 坐标为 1, 3 ，点A 坐标为 4,0 ，则 AC 3 BC 的最小
值为_________．
13．已知函数 f (x) 1 x2 ax b ，其中 a，b R ， f (x) 的最大值为M (a,b)，则M (a,b)的最小值为
___________.
14．已知直线 1 a x a 1 y 4 a 1 0 1 （其中 a 为实数）过定点 P，点 Q 在函数 y x 的图像上，
x
则 PQ 连线的斜率的取值范围是___________．
四、解答题
15．已知 ABC 的三个顶点分别为 A 2，0 ，B 2，0 ，C 0，2 ．
（1）若过P 1，2 的直线 y ax b 将 ABC 分割为面积相等的两部分，求 b 的值；
（2）一束光线从E 1，0 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射到 x 轴上的 F 点，最后再
经 x 轴反射，反射光线所在直线为 l，证明直线 l 经过一定点，并求出此定点的坐标．
16．已知圆O： x2 y2 4．
（1）过点P 1,2 向圆O引切线，求切线 l的方程；
（2）过点M 1,0 任作一条直线交圆O于A 、 B 两点，问在 x轴上是否存在点 N ，使得 ANM BNM ？
若存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由．第二章 直线和圆的方程
一、单选题
1．直线 x y 2 0分别与 x轴， y 2轴交于A ， B 两点，点 P 在圆 x 2 y2 2上，则△ABP面积的取值
范围是
A． 2，6 B． 4，8 C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 2
【答案】A
【详解】
分析：先求出 A，B 两点坐标得到 AB，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计
算即可
详解： 直线 x y 2 0分别与 x轴， y轴交于A ，B两点
A 2,0 ,B 0, 2 ,则 AB 2 2
点 P 在圆（x 2）2 y2 2上
2 0 2
圆心为（2，0），则圆心到直线距离 d1 2 22
故点 P 到直线 x y 2 0的距离 d2 的范围为 2,3 2
1
则 S ABP AB d2 2d2 2,6 2
故答案选 A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
2．已知点 A 2, 3 , B 3, 2 ，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l的斜率 k 的取值范围是（ ）
3
A． k 或 k 4 B． 4 k
3 1 3
C． k D． k 4
4 4 5 4
【答案】A
【详解】
m x 1 y 1 0 ，所以直线 l过定点P 1,1 ，
所以 k
3
PB ， k 4，4 PA
直线在PB 到PA之间，
3
所以 k 或 k 4，故选 A．
4
3．两圆 x2 y2 2ax a2 4 0和 x2 y2 4by 1 4b2 0 恰有三条公切线，若 a R,b R且 ab 0，则
1 1
2 2 的最小值为a b
1 4
A．1 B．3 C． D．
9 9
【答案】A
【详解】
试题分析：由题意得两圆 (x a)2 y2 4与 x2 (y 2b)2 y 1相外切，即 a2 4b2 2 1 a2 4b2 9，所
1 1 ( 1 1
2 2 2 2 2 2 a2 4b2
以 2 2 )
(a 4b ) 1 [5 a 4b 1 a 4b ] [5 2 ] 1，当且仅当 = 时取等号，所以
a b a2 b2 9 9 b2 a2 9 b2 a2 b2 a2
选 A.
考点：两圆位置关系，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”
（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应
用，否则会出现错误.
4 O : x2 y2 1
1 1
．过圆 内一点 , 作直线交圆 O 于 A，B 两点，过 A，B 分别作圆的切线交于点 P，则点 P
4 2
的坐标满足方程（ ）
A． x 2y 4 0 B． x 2y 4 0 C． x 2y 4 0 D． x 2y 4 0
【答案】A
【分析】
设出 P 点坐标，求解出以OP为直径的圆M 的方程，将圆M 的方程与圆O的方程作差可得公共弦 AB 的方
1 1
程，结合点 , 在 AB 上可得点 P 的坐标满足的方程.
4 2
【详解】
设P x0 , y0 ，则以OP 为直径的圆M : x x x0 y y y0 0 2 2，即 x y x0x y0 y 0 ①
因为 PA, PB 是圆 O 的切线，所以OA PA,OB PB，所以 A，B 在圆 M 上，
所以 AB 是圆 O 与圆 M 的公共弦，又因为圆O : x2 y2 1②，
所以由① ②得直线 AB 的方程为： x0x y0 y 1 0，
1 , 1 1 1又点 满足直线 方程，所以 x y 1 0，即 x 2y 4 0 .
4 2
AB
4 0 2 0
故选：A.
5．在平面直角坐标系中，已知点 P a,b 满足 a b 1，记 d 为点 P 到直线 x my 2 0的距离.当 a,b, m变
化时， d 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据直线 l : x my 2 0过定点A 确定出对于给定的一点 P ， d 取最大值时PA l 且 dmax PA ，然后根据
点 P 为正方形上任意一点求解出 PA dmax ，由此可知 max .
【详解】直线 l : x my 2 0过定点 A 2,0 ，对于任意确定的点 P ，当PA l 时，此时 d PA ，
当PA不垂直 l 时，过点 P 作PB l ，此时 d PB ，如图所示：
因为PB AB，所以 PA PB ，所以 dmax PA ，
由上可知：当 P 确定时， dmax 即为 PA ，且此时PA l ；
又因为 P 在如图所示的正方形上运动，所以 dmax PA max ，
当 PA 取最大值时， P 点与M 1,0 重合，此时 PA 2 1 3，
所以 dmax 3，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析 d 取最大值时PA与直线 l的位置关系，通过位置关系的分
析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
6．若实数 x, y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
x x
当 x 0 2时，解得 y 0 ；当 x 0，令 t y ，可得 2t x t ，设 f t 2t ， g t x t 2 ，则2 2
问题等价于 f t 和 g t 有公共点，观察图形可求解.
【详解】
当 x 0 时，解得 y 0 ，符合题意；
当 x 0时，令 t y ，则 t 0，又 x y 0，则 t x ，即 t 0, x ，
x 2
则原方程可化为 2t x t ，
2
f t 2t x设 ， g t x t 2 ， t 2
0, x ，
则 f t 表示斜率为 2的直线， g t 表示以原点为圆心，半径为 x 的四分之一圆，
则问题等价于 f t 和 g t 有公共点，观察图形可知，
x
当直线与圆相切时，由 2 x ，解得 x = 20，
5
0, x x当直线过点 时， x ，解得 x 4，2
因此，要使直线与圆有公共点， x 4,20 ，
综上， x 4,20 0 ，故 x的最大值为 20.
故选：C.
【点睛】
x
关键点睛：解题得关键是令 t y ，将问题转化为直线 f t 2t 与圆有公共点.
2
7．已知圆C : (x m)2 (y 2m 1)2 2m2 ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；
②有无数条直线与所有的圆都相交；
③存在与所有圆都没有公共点的直线；
④所有的圆都不过原点.
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解.
②③根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线
④假设过原点，有解
【详解】
由圆C : (x m)2 (y 2m 1)2 2m2 知
圆心坐标为 (m, 2m 1)，半径 r 2 | m |，圆心在直线 y 2x 1上，
①假设存在直线与所有圆均相切，设为 y kx b
则 (m, 2m 1)到 y kx b的距离为 r 2 | m |
km 2m 1 b
可得 r 2 | m |
k 2 1
k 2 1 b
2 m
k 2 1
k 2
直线与所有圆均相切，故切线应与m 无关，可取b 1，有 2
k 2 1
解得 k 2 6 .
即 y 2 6 x 1
所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；
过点 0, 1 介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确；
过点 0, 1 在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确；
假设过原点，则 ( m)2 ( 2m 1)2 2m2 1，得m 1或m 3，故④错误.
故选：C
【点睛】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，
或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
8．已知 x, y R ，则 (y 1)2 4 (x 2)2 1 x2 y2 的最小值为（ ）
A． 5 B．3
C． 2 5 D．6
【答案】C
【分析】
将问题转化为“点 0, y 到点 2,1 的距离加上点 x,0 到点 2,1 的距离加上点 x,0 到点 0, y 的距离之和的最
小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】
因为 (y 1)2 4 表示点 0, y 到点 2,1 的距离， (x 2)2 1表示点 x,0 到点 2,1 的距离，
x2 y2 表示点 x,0 到点 0, y 的距离，设 A 2,1 , B x,0 ,C 0, y ，
则 (y 1)2 4 (x 2)2 1 x2 y2 表示 AB BC AC 的长度和，
显然当点 x,0 与点 0, y 在 x, y轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当 x,0 , 0, y 均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以 x 2, y 1，设B, A关于原点的对称点为B , A ，
所以 AB BC AC AC B C A B AB A B AA 2 12 22 2 5 ；
当 x,0 , 0, y 其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有 AC BC AB AC AC 2AC 2 5 ， AC BC AB AB AB 2AB 2 5 ，
所以 AC BC AB 2 5 ；
当 x,0 , 0, y 都在坐标原点时， AB AC BC 2 12 22 2 5 ，
综上可知： (y 1)2 4 (x 2)2 1 x2 y2 的最小值为 2 5 ，
故选：C.
【点睛】
2 2
思路点睛：求解形如 x a y b x c 2 y d 2 的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 y ax 2a 1必过定点（2，1）
B．直线3x 2y 4 0在 y 轴上的截距为－2
C．直线 3x y 1 0的倾斜角为 120°
D．若直线 l沿 x轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则该直
2
线 l的斜率为
3
【答案】ACD
【分析】
代入点的坐标判断 A，求出纵截距判断 B，求出斜率得倾斜角，判断 C，写出平移直线后的方程，与原方程
b
一致，由此求得 ，判断 D．
a
【详解】
2z 2a 1 1，所以点 (2,1)在直线上，A 正确；
对3x 2y 4 0，令 x 0 ，得 y 2，直线3x 2y 4 0在 y 轴上截距为 2，B 错误；
直线 3x y 1 0的斜率为 3 ，倾斜角为120 ，C 正确；
设直线 l方程为 ax by c 0，沿 x轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后得
a(x 3) b(y 2) c 0，即 ax by c 3a 2b 0它就是 ax by c 0，
a 2
所以3a 2b 0，所以 k ，D 正确．
b 3
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法．掌握直线的概念
与特征是解题关键．
10．已知点 P 是直线3x 4y 5 0上的动点，定点Q 1,1 ，则下列说法正确的是（ ）
4
A．线段 PQ 的长度的最小值为
5
B．当 PQ 最短时，直线 PQ 的方程是3x 4y 7 0
13 , 41 C．当 PQ 最短时 P 的坐标为 25 25
2
D．线段 PQ 的长度可能是
3
【答案】AC
【分析】
当 PQ 垂直直线3x 4y 5 0时，PQ 最短，即可判断 A、D，设出 P 坐标，根据最短使 PQ 与直线垂直求
解 P 坐标，即可判断 C，由两点式求出直线方程，即可判断 B．
【详解】
解：当 PQ 垂直直线3x 4y 5 0时，PQ 最短，
3 4 5 4
Q 到直线的距离为 5 ，故 A2 2 正确；3 4
4 , 2 4故 PQ 的长度范围为 ， ，故 D 错误； 5 3 5
3m 5 1 3m 5 13
设P m, 44 ，则 k 4 ，解得
m ，
PQ 1 m 3 25
13 41
故 P 为 , ，故 C 正确；
25 25
y 1 x 1
此时直线 PQ 的方程是 41
13 ，即 4x 3y 7 0 1 1 ，故 B 错误，
25 25
故选：AC．
11．（2021 佛山模拟）已知圆C : x2 21 y r
2 ，圆C2 : (x a)
2 (y b)2 r 2 ， (r 0，且 a ，b 不同时
为0) 交于不同的两点 A(x1， y1) ， B(x2 ， y2 )，下列结论正确的是
A． 2ax1 2by
2 2
1 a b
B． a(x1 x2 ) b(y1 y2 ) 0
C． x1 x2 a ， y1 y2 b
D． M ， N 为圆C2 上的两动点，且 | MN | 3r ，则 | OM ON |的最大值为 a
2 b2 r
【答案】ABC
【解析】根据题意， 圆C1 : x
2 y2 r2 和圆C2 : (x a)
2 (y b)2 r2 (r 0) 交于不同的两点 A， B ，
两圆方程相减可得直线 AB 的方程为： a2 b2 2ax 2by 0 ，即 2ax 2by a2 b2 0 ，
分别把点 A(x ， y )， B(x ， y ) 两点坐标代入 2ax 2by a2 b2 0 得： 2ax 2by a21 1 2 2 1 1 b
2 0，
2ax 2 22 2by2 a b 0 ，所以选项 A正确，
上面两式相减得： 2a(x1 x2 ) 2b(y1 y2 ) 0 ，即 a(x1 x2 ) b(y1 y2 ) 0，所以选项 B 正确，
两圆的半径相等，
x x 0 a a y y 0 b
由圆的性质可知，线段 AB 与线段C1C2 互相平分，则有 1 2 ， 1 2 b，2 2 2 2 2
变形可得 x1 x2 a ， y1 y2 b，C 正确；
M ， N 为圆C2 上的两动点，且 | MN | 3r ，设 MN 的中点为 D ，
3 1
则C 2 22D MN ，所以C2D r ( r) r ，2 2
所以 MN 的中点 D 的轨迹为以C2 (a,b)
1
为圆心， r 为半径的圆，
2
所以 MN 1的中点 D 的轨迹方程为 (x a)2 (y b)2 r2 ，
4
又 | OM ON | 2 | OD |，
所以 | OM ON | 的最大值为 2( a2 b2 1 r) 2 a2 b2 r ，故 D 错误．
2
故选 ABC．
三、填空题
12 C x 1 2．已知 为圆： y2 1上一动点，点 B 坐标为 1, 3 ，点A 坐标为 4,0 ，则 AC 3 BC 的最小
值为_________．
【答案】 2 7
【分析】
4
设圆心为M ，由圆的方程得到圆心和半径，取D ,0 ，可证得 CMD AMC ，得到 AC 3 CD ，可知
3
AC 3 BC 3 CD BC 3 BD ，利用两点间距离公式可求得最小值.
【详解】
x 1 2设圆： y2 1的圆心为M ，则M 1,0 ，半径 MC 1 4 ，取D ,03 ，
MD MC
1
MC MA 3 ， CMD CMA， CMD AMC ，
AC 3 CD ，
AC 3 BC 3 CD BC 3 BD （当且仅当 B,C , D 三点共线且C 在线段BD上时取等号），
2
2
BD 1 4 3 2 7 0 ， AC 3 BC 2 7 ，
3 3
即 AC 3 BC 的最小值为 2 7 .
故答案为： 2 7 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两
边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值.
13 2．已知函数 f (x) 1 x ax b ，其中 a，b R ， f (x) 的最大值为M (a,b)，则M (a,b)的最小值为
___________.
2 1
【答案】
2
【分析】
2 1
数形结合分析可知M (a,b) 的最小值为 g x 1 x2 , x 0,1 与 h x ax b x 的纵向距离，从而
2
可以求出结果.
【详解】
f (x) 1 x2函数 ax b M a,b ，即四分之一圆 y 1 x2 , x 0,1 上的点到直线 x y 1上的最大距
2
离为1 ，此时圆上的点记为 P ，如图：
2
只有过PN 2 1的中点且平行于直线 x y 1的直线才满足条件，所以当 a 1,b 时，M (a,b) 的最小值
2
g x 1 x2 , x 0,1 h x ax b x 2 1为 与 的纵向距离，即M (a,b)的最小值为
2
1 2
2 2 1
.
2 2 2
2 1
故答案为： .
2
【点睛】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，
或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
14．已知直线 1 a x a 1 y 4 a 1 0 1 （其中 a 为实数）过定点 P，点 Q 在函数 y x 的图像上，
x
则 PQ 连线的斜率的取值范围是___________．
【答案】[ 3， )
【分析】
把直线方程整理成 a 的多项式，根据恒等式的知识求出定点 P 的坐标，
【详解】
由 1 a x a 1 y 4 a 1 0 得 ( x y 4)a x y 4 0
x y 4 0 x 0,
∴ P(0, 4)
x y 4 0
，解得
y 4
，∴ 。
作出函数 f (x) x
1
的图象，如图，直线 y x 和 y 轴是它的两条渐近线，因此当Q点在第三象限时，
x
kPQ (1, ) ，
当Q在第一象限时，直线PQ可能与函数图象相切，设切点为 (x0 , y0 )，
x 1
f '(x) 1 1 1 0
4
x 12 ，则 k 1 0 ，解得 x0 x ，此时 k 3，0 x2 x 20 0
由图象可知 k [ 3, ) ，
综上 k [ 3, ) 。
故答案为：[ 3, )。
【点睛】
本题考查直线过定点问题，考查直线与函数图象有公共点问题。
（1）直线过定点时，可把直线方程变形为关于所含参数的多项式，然后由恒等式知识求得定点；
（2）直线与函数图象有公共点问题，可作出函数图象及直线，利用图象观察各种可能出现的情况，直观形
象，有助于解题。
四、解答题
15．已知 ABC 的三个顶点分别为 A 2，0 ，B 2，0 ，C 0，2 ．
（1）若过P 1，2 的直线 y ax b 将 ABC 分割为面积相等的两部分，求 b 的值；
（2）一束光线从E 1，0 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射到 x 轴上的 F 点，最后再
经 x 轴反射，反射光线所在直线为 l，证明直线 l 经过一定点，并求出此定点的坐标．
2
【答案】（1）b 2 3 ；（2）证明见解析， 1， 4 ．
3
【分析】
（1）结合图形分析可得直线 y ax b 的斜率大于直线 PA 的斜率，由此可得直线 y ax b 只能与 BC、AB
相交，设其与 BC 的交点为 Q 点，与 x 轴的交点为 R，根据题设条件得到比例关系，列方程求 b；
（2）设F m，0 ，结合光线反射的性质求出直线 ED 的斜率，由此可得直线 l 的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线 BC 的方程为： x y―2 0，
直线 y ax b 只能与 BC、AB 相交，其与 BC 的交点为 Q 点，
y ax b
y b 2a由 得 Q x y 2 ，
y
1 a Q
0，
b b
直线 y ax b 与 x 轴交点为R ，0 ， 2 2，
a a
BR BQ 1 2 2 b b 2a
由 BA CB 2 ，即 a 1 a
1
，
4 2 2 2
2
化简得： (b 2a) 4a a 1 ，又b a 2 ，
2
3b2 12b 8 0 ，解得：b 2 3 ，3
2
而 a 2 b 0， b 2 3．
3
（2）设F m，0 ，直线 AC 的方程为： x y 2 0，直线 BC 的方程为： x y 2 0，
设F m，0 关于直线 AC 的对称点为F1 x1，y1 ，
m x1 y 1 2 0
2 2
则 y ，解得F1 2，m 2 ， 1 1
x1 m
同理可得F1关于直线 BC 的对称点为F2 m，4 ，
4
则F2 在直线 ED 上，所以直线 ED 的斜率为 ， m 1
4 4
l 的斜率为 ，l 方程为 y x m ，即m y 4 4x y ，
m 1 m 1
l 过定点 1， 4 ．
16．已知圆O： x2 y2 4．
（1）过点P 1,2 向圆O引切线，求切线 l的方程；
（2）过点M 1,0 任作一条直线交圆O于A 、 B 两点，问在 x轴上是否存在点 N ，使得 ANM BNM ？
若存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由．
4 10
【答案】(1) y 2 或 y x ；(2)见解析
3 3
【分析】
(1)通过直线与圆的位置关系相切，建立方程计算得到直线方程；
（2）将角度相等问题转化为斜率和为 0，从而直曲联立，建立韦达定理得到 N 的坐标.
【详解】
解：（1）设切线 l的方程为 y k x 1 2，∵ l与圆O相切，
2 k
d 2 k 0 k 4 4 10∴ ，解得 或 2 ．∴ l的方程为 y 2 或 y x ；1 k 3 3 3
（2）假设存在 N a,0 ，当直线 AB 与 x轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y k x 1 ，代入 x2 y2 4，得
1 k 2 x2 2k 2x k 2 4 0 ，
2 2
设 A x1, y B x , y ∴ x x 2k k 41 ， 2 2 ， 1 2 ， x1 k 2 1x2 ．1 k 2
y y k x1 1 x2 a x2 1 x a ∵ 1 2 1 ，
x1 a x2 a x1 a x2 a
而 x1 1 x2 a x2 1 x1 a 2x1x2 a 1 x2 x1 2a
2 k
2 4 2
a 1 2k 2a 2a 8 ，
1 k 2 1 k 2 1 k 2
∵ ANM BNM ，
y1 y∴ 2 0
2a 8
x a x a ，即 0，得 a 4．1 2 1 k 2
当直线 AB 与 x轴垂直时，也成立．故存在点 N 4,0 ，使得 ANM BNM ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，将角度相等问题转化为斜率和为 0 问题是解决本题的关键，意在考查
学生的计算能力及划归能力.
