浙江省义乌市后宅中学2022-2023学年九年级下学期数学期初独立作业
一、选择题(本大题共10小题，共30分）
1．已知线段a、b、c满足关系，且a=3，c=6，则b等于（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c满足关系
∴b2=ac，
∵a=3，c=6，b＞0，
∴b==3．
故选D．
【分析】由，根据比例的基本性质可得b2=ac，再将a=3，c=6代入计算即可求出b的值，注意线段的长度不能是负数．
2．（2023九下·义乌开学考）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【分析】此题给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，故对称轴直线是x=h，由于二次项系数大于0可得抛物线的开口向上，故函数有最小值k.
3．（2023九下·义乌开学考）比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（ ）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设国旗的宽为x米，
由题意得x∶2=0.618，
解得x≈1.2.
故答案为：B.
【分析】根据中国的国旗宽与长之比等于黄金分割比例出方程，求解即可.
4．（2023九下·义乌开学考）在六张卡片上分别写有5，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 5，，3.1415，，0，这六个数中，无理数有与 两个，
∴ 卡片上的数为无理数的概率是 .
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据无理数的定义找出这六个数中无理数的个数，进而根据概率公式，用无理数的个数除以数据的总个数即可得出答案.
5．（2023九下·义乌开学考）如图，是的内接三角形，是的直径，若则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接BD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠DBA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=∠DBA-∠ABC=90°-45°=45°，
∵弧DC=弧DC，
∴∠DAC=∠DBC=45°.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠DBA=90°，根据角的和差，由∠DBC=∠DBA-∠ABC算出∠DBC的度数，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠DBC=45°.
6．（2022·山西模拟）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又m，m，m，
∴
解得PA=30m．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可。
7．（2023九下·义乌开学考）如图，的直径，是的弦，，垂足为，：：5，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OB，
∵直径CD=20，
∴OC=OB=10，
∵OM∶OC=3∶5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，
∴AB=2BM，
在Rt△OBM中，根据勾股定理得，
∴AB=16.
故答案为：C.
【分析】易得OM=6，根据垂径定理得AB=2BM，在Rt△OBM中，根据勾股定理算出BM即可得出答案.
8．（2023九下·义乌开学考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
9．（2023九下·义乌开学考）如图，已知≌，，，点在线段上，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，则线段所扫过的面积即阴影部分面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴
∵∠ABE＝30°，
∴∠DBF＝30°，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AC＝
由旋转变换可知，△BDE≌△BFA，
∴S△BDE＝S△BFA，
∴S阴影＝S扇形ABE＋S△BDE S△BFA S扇形BDF
＝S扇形ABE S扇形BDF
.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角直角三角形的性质得AB＝2BC＝4，根据勾股定理算出AC的长，根据旋转的性质得∠ABE＝∠DBF＝30°，然后运用分割转化的数学思想，将阴影部分的面积转化为S扇形ABE与S扇形BDF的之差，借助扇形的面积公式，即可解决问题．
10．（2023九下·义乌开学考）已知函数，则使成立的值恰好有4个，则的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 画出函数 的图象如下：
通过图象发现：当 1＜k＜3时，函数图象与直线y＝k有四个公共点，
故满足条件的k的取值范围是 1＜k＜3，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】 画出函数 的图象，观察图象分析k取不同值时，函数图象与直线y＝k图象交点的个数，即可求出满足条件的k的取值范围，从而判断即可得出答案．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（2017九上·长春月考）若 ，则为 = ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】根据比例的合比性质，
原式= = = ，
故答案为： .
【分析】比例的合比性质，若，则，根据比例的合比性质可求解。
12．（2017·哈尔滨模拟）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为 ．
【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴ = ，
解得：x=4．
故答案为：4．
【分析】设黄球有x个，根据题意列出分式方程，解之即可得出答案.
13．（2023九下·义乌开学考）如图，在 中，的平分线交于点，交于点，若，则 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE∶BC=AF∶CF=3∶5，
∴.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得AB=AE，从而得，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△CBF，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
14．（2023九下·义乌开学考）已知抛物线，当时，则的取值范围是 _
【答案】-23＜y＜2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+1=-（x2+2x+1）+2=-（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝ 1，顶点坐标为（ 1，2），
∴当x=-1时，函数有最大值2，
当x＝ 2时，y＝ （ 2＋1）2＋2＝1，
x＝4时，y＝ （4＋1）2＋2＝ 23，
∴当 2≤x≤4时，y的取值范围为 23＜y≤2，
故答案为： 23＜y≤2．
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，从而可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝ 1，顶点坐标为（ 1，2），故当x=-1时，函数有最大值2，进而算出x=-2与x=4时对应的函数值即可得出答案.
15．（2023九下·义乌开学考）如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上，顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为
【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AO，BO，AC，OF，
∵AB＝6，AO＝BO＝6，
∴AB＝AO＝BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°
同理：△FAO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∠FAB＝2×60°＝120°，
∵由正方形的性质得∠BAD=90°，
∴∠FAD＝∠FAB-∠DAB=120° 90°＝30°，
∵AD＝AF＝6，
∴点D运动的路径长为：.
故答案为：π.
【分析】连接AO，BO，OF，易证△AOB与△FAO是等边三角形，得∠FAB＝120°，∠FAD＝30°，再利用弧长公式计算即可．
16．（2023九下·义乌开学考）如图 1， 是某激光黑白 A4 纸张打印机的机身，其侧面示意图如图 2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧，与上部面板线段 AE 交于点 E，与 CD 相切于点 D．测得 BC＝24cm， CD＝18cm．进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当 HF 向右移动 6cm 至H′F′时，点 A，D，F'在同一直线上，则 AB 的长度为 cm．若点 E 到 AB 的距离为 16cm， tanA＝4，连接 PO，线段 OP 恰好过圆弧的中点．若点 P 到直线 BC 的距离为 32cm，则 PE＝ cm．
【答案】34；
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，
由题意得，BM＝CN＝HF＝H′F′＝2cm，
F′M＝24＋18＋6＝48（cm），
F′N＝18＋6＝24（cm），
DN＝18 2＝16（cm），
∵AB∥CD，
∴△F′AM∽△F′DN，
∴DN∶AM＝F′N∶F′M＝24∶48＝，
∴AM＝2DN＝2×16＝32（cm），
∴AB＝AM＋MB＝32＋2＝34（cm），
故答案为：34；
（2）如图3，过点E作BC的平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，
∴四边形KESB、四边形EQTS、四边形KQTB均是矩形，
在Rt△AEK中，EK＝16cm，tanA＝4，
AK＝14EK＝4cm，
∴KB＝QT＝AB AK＝34 4＝30（cm），
由（1）可得：DC＝16＋2＝18（cm），
∴QG＝QT GT＝30 18＝12（cm），
SC＝BC BS＝24 16＝8（cm），
PQ＝PT QT＝PT KB＝32 30＝2（cm），
PG＝PQ＋QG＝2＋12＝14（cm），
设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，
∵线段OP恰好过弧ED的中点，
∴OP是DE的垂直平分线，EP＝PD，
在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，
EQ2＋PQ2＝DG2＋PG2＝PE2，
即（a＋8）2＋22＝a2＋142，
解得a＝8，
即：EQ＝a＋8＝16（cm），
∴（cm）.
故答案为：
【分析】根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出AM，进而求出AB的值；利用垂径定理可得OP是DE的垂直平分线，得到PE＝PD，在Rt△AEK中利用锐角三角函数可求出AK，进而求出KB的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理列方程求出a的值即可解答．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（2023九下·义乌开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．（2023九下·义乌开学考）某学校计划开设四门课后服务选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的课后服务选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请用树状图列表格求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】（1）50；30%
（2）解：选择绘画的学生人数为：50×20％=10（人） ， 选择书法的学生人数为：50×10％=5（人） ；
补全条形统计图如图所示：
（3）解： 名 ，
选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学。
男1 男2 男3 女1 女2
男1 --- 男2男1 男3男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2） --- 男3男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3） 男2男3 --- 女1男3 女2男3
女1 男1，女1） 男2女1 男3女1 --- 女2女1
女2 男1女2） 男2女2 男3女2 女1女2 ---
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则 P( 一男一女) ．
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生人数为：20÷40％=50（人），
在扇形统计图中，m的值是：100-40-20-10=30，
故答案为：50，30；
【分析】（1）用选择舞蹈的学生人数乘以其所占的百分比即可求出本次调查的学生人数；根据扇形统计图中各类所占的百分比之和等于100％即可算出在扇形统计图中m的值；
（2）利用本次调查的总人数分别乘以选择绘画及书法的学生人数所占的百分比，即可求出选择绘画及书法的人数，从而即可补全条形统计图；
（3）根据题意用方格的形式列举出所有等可能的结果数，所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，从而根据概率公式即可算出答案.
19．（2023九下·义乌开学考）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度．
⑴画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是 ▲
⑵以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ▲
⑶求的面积．
【答案】解：（1）如图所示， 即为所求；
；
点C1的坐标为（2，-2）．
（2）如图所示， 即为所求；（1，0）．
（3） ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
的面积是 ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用方根纸的特点分别将点A、B、C向下平移4个单位长度得到其对应点A1、B1、C1，再连接A1B1、B1C1、C1A1即可，进而根据点C1的位置读出其坐标；
（2）利用方格纸的特点，延长BA至点A2，使AA2=AB，延长BC至点C2，使CC2=BC，再连接A2C2即可，进而根据点C2的位置读出其坐标即可；
（3）利用勾股定理算出A2C2、B2C2、A2B2，再根据勾股定理的逆定理判断出△A2B2C2是直角三角形，最后根据直角三角形的面积计算方法算出答案.
20．（2023九下·义乌开学考）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．(结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，)
【答案】（1）解：根据题意可知：
， ， ， 米，
在 中， 米 ，
在 中， 米 ，
米 ．
答：测温区域的宽度 为2.2米；
（2）解：根据题意可知：
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 米，
米 ．
答：该设备的安装高度OC 约为1.84米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△OBC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出BC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出AC，进而根据AB=AC-BC算出答案；
（2）由题意得AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，由正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，从而即可建立方程，求解即可解决问题.
21．（2023九下·义乌开学考）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接 ，
是 的中点，
∴弧EF=弧DE，
．
，
．
．
．
，
．
，
．
又 为半圆 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则OA=x+4，
， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
．
，
∽ ．
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，由等弧所对的圆周角相等得∠OBE=∠CBE，根据等边对等角得∠OEB=∠OBE，则∠OEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行得OE∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）设圆的半径为x，则OA=x+4，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
22．（2023九下·义乌开学考）2022年卡塔尔世界杯足球赛期间，义乌某外贸公司销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现该公司决定提价销售设每天销售为本，销售单价为元．
（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元．
【答案】（1）解：
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ， 不合题意，舍去 ．
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
（3）解：根据题意，得 ，
当 时， 随 的增大而增大，
因为 ，所以当 时， 有最大值，最大值为2640．
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得
的利润最大，最大利润是2640元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x 44）元，每天销售量减少10（x 44）本，所以用定价为44元时的销售数量减去每天销量减少的数量即可得出y关于x函数解析式，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润建立方程，解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量等于总利润得到w关于x函数关系式，进而根据二次函数的性质并结合自变量的取值范围即可解决问题.
23．（2023九下·义乌开学考）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
【答案】（1）解：（8，6）
（2）解：如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴
∴
∴PH＝ x，PB＝ x，
∴x+ x＝10，
∴x＝ ，
∴PB＝ × ＝ ，
∴PA＝AB-PB＝8﹣ ＝ ，
∴P（ ，6）；
（3）解：如图2中，设PA′交OB于点T．
∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴
∴
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵
∴
∴PB＝ ，
∴AP＝AB-PB＝8﹣ ＝ ，
∴P（ ，6）
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝ ＝ ＝8，
∴B（8，6）；
【分析】（1）利用勾股定理算出AB的长度，进而根据垂直于y轴的直线上所有点的纵坐标相同即可得出答案；
（2）过点P作PH⊥OB于点H，根据等腰直角三角形性质可设PH＝OH＝x，判断出△BHP∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例可用含x的式子标出出PH、PB，进而根据OH+HB=OB构建方程求出x，从而即可求出PB，再根据PA＝AB-PB算出PA即可解决问题；
（3）设PA'交OB于点T，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得EA＝EO＝EB＝5，根据等边对等角得∠EAB＝∠B，由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，故∠A′＝∠B，判断出△A′TE∽△BAO，利用相似三角形的对应边成比例建立方程求出ET，再根据锐角三角函数的定义，由求出PB，最后由PA＝AB-PB算出PA即可解决问题．
24．（2023九下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；
（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将 ， 代入 ，
，解得 ．
抛物线的解析式为：
（2）解：设直线AB的解析式为： ，
将 ， 代入 ，
，
解得 ．
∴直线AB的解析式为，
， ，
，
，即 ，
过点P作PM⊥x轴于点M ， PM与AB交于点N ，过点B作BE⊥PM于点E ，如图，
，
．
设点P的横坐标为m ，
， ， ，
．
解得 或 ；
或 ．
（3）解： ，
，
，
， ，
．
设直线AB交y轴于点F ．则 ，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H ， PH交AB于点G ，如图，
∵PD∥OB，
，
，
，
，
，
，
设 ，则
由（2）可知， ，
．
，
当 时， 的最大值为 ．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程组，求解得a、b的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形面积计算方法结合△OAB面积是△PAB面积的2倍得△PAB的面积是4， 过点P作PM⊥x轴于点M ， PM与AB交于点N ，过点B作BE⊥PM于点E ，根据△PAB的面积=△PNB的面积+△PNA的面积结合三角形面积计算方法建立方程可求出PN的长，设点P的横坐标为m ，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点P、N的坐标，进而可表示出PN的长，据此建立方程求出m的值，从而可得点P的坐标；
（3）根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DPC∽△BOC，得，根据同高三角形的面积之比等于底之比得 ， ，故，设直线AB交y轴于点F，易得点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H ， PH交AB于点G ，根据平行线的性质及等角的补角相等得∠PDG=∠OBF，判断出△PDG∽△OBF，根据相似三角形对应边成比例得，设 ，则，表示出PG，则进而根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可判断得出答案.
1 / 1浙江省义乌市后宅中学2022-2023学年九年级下学期数学期初独立作业
一、选择题(本大题共10小题，共30分）
1．已知线段a、b、c满足关系，且a=3，c=6，则b等于（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
2．（2023九下·义乌开学考）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
3．（2023九下·义乌开学考）比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（ ）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
4．（2023九下·义乌开学考）在六张卡片上分别写有5，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·义乌开学考）如图，是的内接三角形，是的直径，若则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西模拟）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九下·义乌开学考）如图，的直径，是的弦，，垂足为，：：5，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．
8．（2023九下·义乌开学考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九下·义乌开学考）如图，已知≌，，，点在线段上，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，则线段所扫过的面积即阴影部分面积为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023九下·义乌开学考）已知函数，则使成立的值恰好有4个，则的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（2017九上·长春月考）若 ，则为 = ．
12．（2017·哈尔滨模拟）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为 ．
13．（2023九下·义乌开学考）如图，在 中，的平分线交于点，交于点，若，则 .
14．（2023九下·义乌开学考）已知抛物线，当时，则的取值范围是 _
15．（2023九下·义乌开学考）如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上，顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为
16．（2023九下·义乌开学考）如图 1， 是某激光黑白 A4 纸张打印机的机身，其侧面示意图如图 2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧，与上部面板线段 AE 交于点 E，与 CD 相切于点 D．测得 BC＝24cm， CD＝18cm．进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当 HF 向右移动 6cm 至H′F′时，点 A，D，F'在同一直线上，则 AB 的长度为 cm．若点 E 到 AB 的距离为 16cm， tanA＝4，连接 PO，线段 OP 恰好过圆弧的中点．若点 P 到直线 BC 的距离为 32cm，则 PE＝ cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（2023九下·义乌开学考）计算：
18．（2023九下·义乌开学考）某学校计划开设四门课后服务选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的课后服务选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请用树状图列表格求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
19．（2023九下·义乌开学考）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度．
⑴画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是 ▲
⑵以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ▲
⑶求的面积．
20．（2023九下·义乌开学考）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．(结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，)
21．（2023九下·义乌开学考）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（2023九下·义乌开学考）2022年卡塔尔世界杯足球赛期间，义乌某外贸公司销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现该公司决定提价销售设每天销售为本，销售单价为元．
（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元．
23．（2023九下·义乌开学考）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
24．（2023九下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；
（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c满足关系
∴b2=ac，
∵a=3，c=6，b＞0，
∴b==3．
故选D．
【分析】由，根据比例的基本性质可得b2=ac，再将a=3，c=6代入计算即可求出b的值，注意线段的长度不能是负数．
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【分析】此题给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，故对称轴直线是x=h，由于二次项系数大于0可得抛物线的开口向上，故函数有最小值k.
3．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设国旗的宽为x米，
由题意得x∶2=0.618，
解得x≈1.2.
故答案为：B.
【分析】根据中国的国旗宽与长之比等于黄金分割比例出方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】概率公式；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 5，，3.1415，，0，这六个数中，无理数有与 两个，
∴ 卡片上的数为无理数的概率是 .
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据无理数的定义找出这六个数中无理数的个数，进而根据概率公式，用无理数的个数除以数据的总个数即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接BD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠DBA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=∠DBA-∠ABC=90°-45°=45°，
∵弧DC=弧DC，
∴∠DAC=∠DBC=45°.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠DBA=90°，根据角的和差，由∠DBC=∠DBA-∠ABC算出∠DBC的度数，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠DBC=45°.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又m，m，m，
∴
解得PA=30m．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OB，
∵直径CD=20，
∴OC=OB=10，
∵OM∶OC=3∶5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，
∴AB=2BM，
在Rt△OBM中，根据勾股定理得，
∴AB=16.
故答案为：C.
【分析】易得OM=6，根据垂径定理得AB=2BM，在Rt△OBM中，根据勾股定理算出BM即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴
∵∠ABE＝30°，
∴∠DBF＝30°，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AC＝
由旋转变换可知，△BDE≌△BFA，
∴S△BDE＝S△BFA，
∴S阴影＝S扇形ABE＋S△BDE S△BFA S扇形BDF
＝S扇形ABE S扇形BDF
.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角直角三角形的性质得AB＝2BC＝4，根据勾股定理算出AC的长，根据旋转的性质得∠ABE＝∠DBF＝30°，然后运用分割转化的数学思想，将阴影部分的面积转化为S扇形ABE与S扇形BDF的之差，借助扇形的面积公式，即可解决问题．
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 画出函数 的图象如下：
通过图象发现：当 1＜k＜3时，函数图象与直线y＝k有四个公共点，
故满足条件的k的取值范围是 1＜k＜3，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】 画出函数 的图象，观察图象分析k取不同值时，函数图象与直线y＝k图象交点的个数，即可求出满足条件的k的取值范围，从而判断即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】根据比例的合比性质，
原式= = = ，
故答案为： .
【分析】比例的合比性质，若，则，根据比例的合比性质可求解。
12．【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴ = ，
解得：x=4．
故答案为：4．
【分析】设黄球有x个，根据题意列出分式方程，解之即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE∶BC=AF∶CF=3∶5，
∴.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得AB=AE，从而得，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△CBF，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
14．【答案】-23＜y＜2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+1=-（x2+2x+1）+2=-（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝ 1，顶点坐标为（ 1，2），
∴当x=-1时，函数有最大值2，
当x＝ 2时，y＝ （ 2＋1）2＋2＝1，
x＝4时，y＝ （4＋1）2＋2＝ 23，
∴当 2≤x≤4时，y的取值范围为 23＜y≤2，
故答案为： 23＜y≤2．
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，从而可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝ 1，顶点坐标为（ 1，2），故当x=-1时，函数有最大值2，进而算出x=-2与x=4时对应的函数值即可得出答案.
15．【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AO，BO，AC，OF，
∵AB＝6，AO＝BO＝6，
∴AB＝AO＝BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°
同理：△FAO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∠FAB＝2×60°＝120°，
∵由正方形的性质得∠BAD=90°，
∴∠FAD＝∠FAB-∠DAB=120° 90°＝30°，
∵AD＝AF＝6，
∴点D运动的路径长为：.
故答案为：π.
【分析】连接AO，BO，OF，易证△AOB与△FAO是等边三角形，得∠FAB＝120°，∠FAD＝30°，再利用弧长公式计算即可．
16．【答案】34；
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，
由题意得，BM＝CN＝HF＝H′F′＝2cm，
F′M＝24＋18＋6＝48（cm），
F′N＝18＋6＝24（cm），
DN＝18 2＝16（cm），
∵AB∥CD，
∴△F′AM∽△F′DN，
∴DN∶AM＝F′N∶F′M＝24∶48＝，
∴AM＝2DN＝2×16＝32（cm），
∴AB＝AM＋MB＝32＋2＝34（cm），
故答案为：34；
（2）如图3，过点E作BC的平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，
∴四边形KESB、四边形EQTS、四边形KQTB均是矩形，
在Rt△AEK中，EK＝16cm，tanA＝4，
AK＝14EK＝4cm，
∴KB＝QT＝AB AK＝34 4＝30（cm），
由（1）可得：DC＝16＋2＝18（cm），
∴QG＝QT GT＝30 18＝12（cm），
SC＝BC BS＝24 16＝8（cm），
PQ＝PT QT＝PT KB＝32 30＝2（cm），
PG＝PQ＋QG＝2＋12＝14（cm），
设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，
∵线段OP恰好过弧ED的中点，
∴OP是DE的垂直平分线，EP＝PD，
在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，
EQ2＋PQ2＝DG2＋PG2＝PE2，
即（a＋8）2＋22＝a2＋142，
解得a＝8，
即：EQ＝a＋8＝16（cm），
∴（cm）.
故答案为：
【分析】根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出AM，进而求出AB的值；利用垂径定理可得OP是DE的垂直平分线，得到PE＝PD，在Rt△AEK中利用锐角三角函数可求出AK，进而求出KB的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理列方程求出a的值即可解答．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．【答案】（1）50；30%
（2）解：选择绘画的学生人数为：50×20％=10（人） ， 选择书法的学生人数为：50×10％=5（人） ；
补全条形统计图如图所示：
（3）解： 名 ，
选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学。
男1 男2 男3 女1 女2
男1 --- 男2男1 男3男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2） --- 男3男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3） 男2男3 --- 女1男3 女2男3
女1 男1，女1） 男2女1 男3女1 --- 女2女1
女2 男1女2） 男2女2 男3女2 女1女2 ---
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则 P( 一男一女) ．
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生人数为：20÷40％=50（人），
在扇形统计图中，m的值是：100-40-20-10=30，
故答案为：50，30；
【分析】（1）用选择舞蹈的学生人数乘以其所占的百分比即可求出本次调查的学生人数；根据扇形统计图中各类所占的百分比之和等于100％即可算出在扇形统计图中m的值；
（2）利用本次调查的总人数分别乘以选择绘画及书法的学生人数所占的百分比，即可求出选择绘画及书法的人数，从而即可补全条形统计图；
（3）根据题意用方格的形式列举出所有等可能的结果数，所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，从而根据概率公式即可算出答案.
19．【答案】解：（1）如图所示， 即为所求；
；
点C1的坐标为（2，-2）．
（2）如图所示， 即为所求；（1，0）．
（3） ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
的面积是 ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用方根纸的特点分别将点A、B、C向下平移4个单位长度得到其对应点A1、B1、C1，再连接A1B1、B1C1、C1A1即可，进而根据点C1的位置读出其坐标；
（2）利用方格纸的特点，延长BA至点A2，使AA2=AB，延长BC至点C2，使CC2=BC，再连接A2C2即可，进而根据点C2的位置读出其坐标即可；
（3）利用勾股定理算出A2C2、B2C2、A2B2，再根据勾股定理的逆定理判断出△A2B2C2是直角三角形，最后根据直角三角形的面积计算方法算出答案.
20．【答案】（1）解：根据题意可知：
， ， ， 米，
在 中， 米 ，
在 中， 米 ，
米 ．
答：测温区域的宽度 为2.2米；
（2）解：根据题意可知：
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 米，
米 ．
答：该设备的安装高度OC 约为1.84米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△OBC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出BC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，据此算出AC，进而根据AB=AC-BC算出答案；
（2）由题意得AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，由正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，在Rt△OAC中，根据正切三角函数的定义得，可用含BC的式子表示出OC，从而即可建立方程，求解即可解决问题.
21．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的中点，
∴弧EF=弧DE，
．
，
．
．
．
，
．
，
．
又 为半圆 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则OA=x+4，
， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
．
，
∽ ．
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，由等弧所对的圆周角相等得∠OBE=∠CBE，根据等边对等角得∠OEB=∠OBE，则∠OEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行得OE∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）设圆的半径为x，则OA=x+4，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ， 不合题意，舍去 ．
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
（3）解：根据题意，得 ，
当 时， 随 的增大而增大，
因为 ，所以当 时， 有最大值，最大值为2640．
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得
的利润最大，最大利润是2640元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x 44）元，每天销售量减少10（x 44）本，所以用定价为44元时的销售数量减去每天销量减少的数量即可得出y关于x函数解析式，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润建立方程，解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量等于总利润得到w关于x函数关系式，进而根据二次函数的性质并结合自变量的取值范围即可解决问题.
23．【答案】（1）解：（8，6）
（2）解：如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴
∴
∴PH＝ x，PB＝ x，
∴x+ x＝10，
∴x＝ ，
∴PB＝ × ＝ ，
∴PA＝AB-PB＝8﹣ ＝ ，
∴P（ ，6）；
（3）解：如图2中，设PA′交OB于点T．
∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴
∴
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵
∴
∴PB＝ ，
∴AP＝AB-PB＝8﹣ ＝ ，
∴P（ ，6）
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝ ＝ ＝8，
∴B（8，6）；
【分析】（1）利用勾股定理算出AB的长度，进而根据垂直于y轴的直线上所有点的纵坐标相同即可得出答案；
（2）过点P作PH⊥OB于点H，根据等腰直角三角形性质可设PH＝OH＝x，判断出△BHP∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例可用含x的式子标出出PH、PB，进而根据OH+HB=OB构建方程求出x，从而即可求出PB，再根据PA＝AB-PB算出PA即可解决问题；
（3）设PA'交OB于点T，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得EA＝EO＝EB＝5，根据等边对等角得∠EAB＝∠B，由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，故∠A′＝∠B，判断出△A′TE∽△BAO，利用相似三角形的对应边成比例建立方程求出ET，再根据锐角三角函数的定义，由求出PB，最后由PA＝AB-PB算出PA即可解决问题．
24．【答案】（1）解：将 ， 代入 ，
，解得 ．
抛物线的解析式为：
（2）解：设直线AB的解析式为： ，
将 ， 代入 ，
，
解得 ．
∴直线AB的解析式为，
， ，
，
，即 ，
过点P作PM⊥x轴于点M ， PM与AB交于点N ，过点B作BE⊥PM于点E ，如图，
，
．
设点P的横坐标为m ，
， ， ，
．
解得 或 ；
或 ．
（3）解： ，
，
，
， ，
．
设直线AB交y轴于点F ．则 ，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H ， PH交AB于点G ，如图，
∵PD∥OB，
，
，
，
，
，
，
设 ，则
由（2）可知， ，
．
，
当 时， 的最大值为 ．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程组，求解得a、b的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形面积计算方法结合△OAB面积是△PAB面积的2倍得△PAB的面积是4， 过点P作PM⊥x轴于点M ， PM与AB交于点N ，过点B作BE⊥PM于点E ，根据△PAB的面积=△PNB的面积+△PNA的面积结合三角形面积计算方法建立方程可求出PN的长，设点P的横坐标为m ，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点P、N的坐标，进而可表示出PN的长，据此建立方程求出m的值，从而可得点P的坐标；
（3）根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DPC∽△BOC，得，根据同高三角形的面积之比等于底之比得 ， ，故，设直线AB交y轴于点F，易得点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H ， PH交AB于点G ，根据平行线的性质及等角的补角相等得∠PDG=∠OBF，判断出△PDG∽△OBF，根据相似三角形对应边成比例得，设 ，则，表示出PG，则进而根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可判断得出答案.
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