重庆市第八中学2022-2023学年七年级下学期入学测试数学试题
一、单选题
1．（2023七下·重庆开学考）3的相反数是（ ）
A． -3 B． C．3 D．
2．（2023七下·重庆开学考）要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子.能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．（2019七上·龙湖期末）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104 B．589.73×106
C．5.8973×108 D．0.58973×108
4．（2023七下·重庆开学考）关于单项式-y，下列说法正确的是（ ）
A．系数为3 B．次数为- C．次数为3 D．系数为
5．（2023七下·重庆开学考） ，则的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-5 D．5
6．（2023七下·重庆开学考）如图，数轴上的点A、B分别对应数a、b，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·重庆开学考）如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．5 B．40 C．28 D．20
8．（2023七下·重庆开学考）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.8小时，已知轮船在静水中速度为每小时30千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离.若设两地距离为千米，则可得方程（ ）.
A． B．
C． D．
9．（2017七上·五莲期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（ ）
A．84 B．108 C．135 D．152
二、多选题
10．（2023七下·重庆开学考）如图，下列条件中能判断直线的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2023七下·重庆开学考）若与是同类项，则 .
12．（2023七下·重庆开学考）在方程-3（★-9）＝5x-1中，★处被盖住了一个数字，如果已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是 .
13．（2023七下·重庆开学考）如图，线段上依次有D，B，E三点，其中点B为线段的中点，，若，则等于 .
14．（2023七下·重庆开学考）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 .
15．（2023七下·重庆开学考）美加外校七年级学生在班主任的带领下赶赴劳动实践基地开展实践劳动，七年级（1）班的同学在进行劳动前需要分成x组，若每小组分配12人，则余下5人；若每组14人，则有一组少5人；若每组分配13人时，则该班可分成 组.
四、解答题
16．（2023七下·重庆开学考）计算：
（1） ；
（2） .
17．（2023七下·重庆开学考）解方程：
（1） ；
（2） .
18．（2023七下·重庆开学考）先化简，再求值：，其中，.
19．（2023七下·重庆开学考）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵（已知），
∴，（① ）
∵平分，
∴②▲ .（③ ）
∴.（④ ）
∵（已知），
∴⑤▲ .（⑥ ）
∴.（⑦ ）
∴.（⑧ ）
20．（2023七下·重庆开学考）用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹.
一辆货车由点A出发沿山路送货，在点B和点C两次转弯后，保持与出发时相同的方向，且点C到终点D的距离与点B到点C的距离相等，请根据所给条件，确定点D的位置.
五、单选题
21．（2023七下·重庆开学考）观察站测得一轮船在北偏西，则在轮船上看观察站的方位是（ ）
A．南偏东 B．南偏西
C．南偏东 D．南偏西
六、多选题
22．（2023七下·重庆开学考）有5个正整数，，，，.某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数.①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③.
甲：取，5个正整数不能同时满足上述3个条件；
乙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数能同时满足上述3个条件；
丙：若5个正整数，，，，同时满足上述3个条件，则（k为正整数）；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则：与：之和被10整除.
以上结论正确的有（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
七、填空题
23．（2023七下·重庆开学考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 .
24．（2023七下·重庆开学考）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = .
25．（2023七下·重庆开学考）如图，直线垂直于直线AB、分别交于点、，，直线、间存在、两点，使得、，与的角平分线相交于点，，，则 .
八、解答题
26．（2023七下·重庆开学考）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算.例如：.
（1）计算：；
（2）解方程；
（3）若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对.
27．（2023七下·重庆开学考）某商场在春节期间推出各种优惠活动进行促销，小林准备在三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/件的羽绒服若干件，已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠：
甲店：春节期间购买可以再享受八五折优惠；
乙店：春节期间下单可享立减活动：①当购买数量不超过10件，每件立减110元，
②当购买数量超过10件，超过的部分每件立减200元；
丙店：商品在原价基础上每满1000元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商场春节购物津贴券30元，同时春节期间下单每单还可立减20元（例如：购买2条羽绒服需支付1000×80%×2-50×2-30×5-20=1330元）
（1）小林准备购买6件羽绒服作一单购买，请问在哪家店铺购买更便宜；
（2）若小林在春节期间下单，且购买了a件同款羽绒服，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用.（说明：小林要买的a件羽绒服作一单购买）
28．（2023七下·重庆开学考）如图①，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为秒，且.
（1）若射线的位置保持不变，则当旋转时间 秒时，边所在直线与平行；
（2）如图②，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）在三角板旋转过程的同时，射线绕着点按每秒的速度逆时针旋转，当时，求出的取值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：3的相反数是 .
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，
能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线，
故A，B，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据两点确定一条直线进行解答.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】589 730 000=5.8973×.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义，将589 730 000表示成a×（其中，n=整数位数-1）.
4．【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式- y的系数是： ，次数是：3.
故答案为：C.
【分析】单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得x+y-3=0、m-n+1=0，则x+y=3，m-n=-1，将待求式变形为-(m-n)-2(x+y)，据此计算.
6．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴的定义及绝对值的意义得： 且 ，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】由数轴可得a<07．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 .
则 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，则a=2，b=14-2×2=10，然后根据长方体的体积=长×宽×高进行计算.
8．【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设两地距离为 千米，根据题意得，
，
故答案为：D.
【分析】由题意可得顺流所用的时间为，逆流所用的时间为，然后根据顺流所用时间比逆流回到甲地少1.8小时就可列出方程.
9．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第①个图形有3颗棋子，
第②个图形一共有3+6=9颗棋子，
第③个图形一共有3+6+9=18颗棋子，
第④个图形有3+6+9+12=30颗棋子，
…，
第⑧个图形一共有3+6+9+…+24=3×（1+2+3+4+…+7+8）=108颗棋子．
故选：B．
【分析】由题意可知：最里面的三角形的棋子数是6，由内到外依次比前面一个多3个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可．
10．【答案】A,B,C,D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由 ，“由同位角相等，两直线平行”可得 ，符合题意；
B、由 ，“由内错角相等，两直线平行”可得 ，符合题意；
C、由 ，“由同旁内角互补，两直线平行”可得 ，符合题意；
D、如图，作 ，
符合题意；
故答案为：ABCD.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
11．【答案】9
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解∶已知 与 是同类项，所以， ，
则 ，
则
故答案为∶9.
【分析】同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，则m-2=4，n+7=4，求出m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
12．【答案】1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x＝5代入方程，得：-3（★-9）＝25-1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故答案为：1.
【分析】将x=5代入方程中进行计算可得★处的数字.
13．【答案】8
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B为线段 的中点，
∴ ，
故答案为：8.
【分析】由已知条件可知AD=BE，根据线段的和差关系可得AB=DE=4，由中点的概念可得AC=2AB，据此计算.
14．【答案】52°
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由翻折可知，
，
，
是长方形，
，
，
故答案为：52°.
【分析】由折叠的性质可得∠CEG=2∠FEC=128°，由邻补角的性质可得∠BEG的度数，根据长方形的性质可得AC∥BD，利用平行线的性质可得∠1=∠BEG，据此解答.
15．【答案】5
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设需要分成x组
由题意得 ，
解得 ，
∴七年级（1）班一共有 人，
∴每组分配13人时，则该班可分成 组.
故答案为：5.
【分析】设需要分成x组，由每小组分配12人，则余下5人可得总人数为12x+5；根据每组14人，则有一组少5人可得总人数为14(x-1)+14-5，由总人数一定建立关于x的方程，求出x的值，然后求出总人数，据此解答.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）直接根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先计算乘方，然后计算乘法，最后计算减法即可.
17．【答案】（1）解：
移项得； ，
合并同类项得： ，
系数化为1得；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得； ，
合并同类项得： ，
系数化为1得； .
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
18．【答案】解：原式 ，
当 ， 时，代入原式得：
原式 .
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据去括号、合并同类项法则即可对原式进行化简，然后将x、y的值代入进行计算.
19．【答案】证明：∵ （已知），
∴ ，（①两直线平行，内错角相等）
∵ 平分 ，
∴② .（③角平分线的定义）
∴ .（④等量代换）
∵ （已知），
∴⑤ .（⑥同旁内角互补，两直线平行）
∴ .（⑦两直线平行，同位角相等）
∴ .（⑧等量代换）
故答案为：①两直线平行，内错角相等，②∠1＝∠2，③角平分线的定义，④等量代换，⑤ ，⑥同旁内角互补，两直线平行，⑦两直线平行，同位角相等，⑧等量代换.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可知AD∥BC，根据平行线的性质可得∠2=∠E，由角平分线的概念可得∠1=∠2，则∠1=∠E，由∠B+∠BCD=180°可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠1=∠CFE，据此可得结论.
20．【答案】解：由题意得，如下图，点D即为所求.
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】过点C作AB的平行线，然后以C为圆心，BC长为半径画弧，与平行线交于点D.
21．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：一轮船在观察站的北偏西 方向，则在轮船上看观察站的方向是南偏东 ，
故答案为：C.
【分析】根据位置的相对性可得：它们的方向相反，角度相同，据此解答.
22．【答案】A,B,C
【知识点】推理与论证；整除（奥数类）
【解析】【解答】解：甲：若 ，
由条件①可得， ，
由条件②可得， ，
由条件③可得， ，
解得 ，
而 为奇数，不符合条件，
故甲结论正确；
乙：若 是4的倍数，设 （n是正整数），
条件①可得， ，
条件②可得， ，
由条件③可得， ，
解得 ，
可知 为奇数，符合题意，
故乙结论正确；
丙：设 （k为正整数）
由条件①可得， ，
条件②可得， ， ， 是奇数，
条件③可得， ，
得 ，
∵k是正整数，
∴ 是正偶数，
故丙结论正确；
丁：设 （m是正整数），
由条件①可得， ，
条件②可得， ， ， 是奇数，
条件③可得， ，
∴
，
只有当 为10的倍数时， 与： 之和被10整除，
故丁结论错误；
综上所述，正确的同学有甲乙丙.
故答案为：ABC.
【分析】若a2=6，根据条件①②③可得a4的值，据此判断甲；若a2是4的倍数，设a2=4n （n是正整数），同理表示出a4，据此判断乙；设a5=6k+1（k为正整数），表示出a2=4k，据此判断丙；设 a1=2m（m是正整数），根据条件①②③可得a1+a2+a3=3a1+6，a4=a5-2，a1+a2+a3=a4+a5，然后表示出，据此判断丁.
23．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：大扇形的圆心角是 ，半径是 ，
所以面积为： (m2)；
小扇形的圆心角是 ，半径是 ，
则面积为： (m2)；
小羊A在草地上的最大活动区域面积为： (m2).
故答案为： .
【分析】根据扇形的面积公式求出大扇形的面积，小扇形的面积，然后相加即可.
24．【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘14，去分母得
，
整理得 ，
∵无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】方程两边都乘14，然后整理可得(2x+7b)k+14x=14+2a，由题意可得2+7b=0，14+2a=14，求出a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
25．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ，
设 ，
，
， 分别平分 ，
，
，
， ，
；
故答案为： .
【分析】根据垂直的概念可得∠BEF=∠DFE=90°，设∠PEF=∠BEQ=α，∠PFE=∠QFD=β，则∠FEQ=90°-α，∠QFE=90°-β，根据角平分线的概念可得∠FER=45°-α，∠EFR=45°-β，则∠PER=45°+α，∠PFR=45°+β，由内角和定理可得α+β=100°，根据2∠PER-∠PFR=64°可得α-β=19°，据此可得α、β的度数，进而求出∠PER、∠PFR、∠BEQ的度数，据此求解.
26．【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意得： ，
，
，
；
（3）解：∵x，y为整数且
∴ ，
∴
又∵ 为整数，
∴ 为整数，
∴ 或 ，
∴ ，
∴对应的
综上：所以满足条件的数对有 .
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式= ，计算即可；
（2）根据定义的新运算可得，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（3）根据定义的新运算可得，为整数，则x+2y=11、2-x=±1或±7，求出x、y的值，进而可得满足条件的数对.
27．【答案】（1）解：由题意得：
在甲店购买花费： （元）
在乙店购买花费： （元）
在丙店购买花费： （元）
∵ ，∴选择丙店更加便宜
答：小林在丙店购买6件羽绒服更便宜.
（2）解：设在甲、乙、丙三家店购买费用分别为 、 、
在甲店花费：
在乙店花费：
当 时，
当 时，
在丙店花费：
当a能被2整除时，
当a不能被2整除时，
【知识点】列式表示数量关系；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）利用数量×原价×80%×0.85可得在甲店购买的费用；根据原价×80%-100，然后乘以数量可得在乙店购买的费用；根据数量×原价×80%-数量×50-30×15-20可得在丙店购买的费用，然后进行比较即可；
（2）设在甲、乙、丙三家店购买费用分别为y1、y2、y3，同理可表示出y1、y2、y3.
28．【答案】（1）7或25
（2）解：存在，① 平分 ， ，
，解得 ；
②若 平分 ， ，
，解得 ；
③若 平分 ，
，解得 ，
综上所述， 2s或8s或32s；
（3）解：由题意得：
与 重合时， ，解得： ，
与 重合时， ，解得： ，
与 重合时： ，解得： ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： （舍）；
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： .
综上所述： s或 s或 s.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①如图，当 在直线 上方时，
∵ ，
，
，
直角三角板绕点 按每秒 的速度旋转，
；
②如图，当 在直线 下方时，
∵ ，
，
， ，
直角三角板 绕点 旋转的角度为 ，
直角三角板 绕点 按每秒 的速度逆时针旋转，
，
故当 s或 s时，边 所在直线与 平行；
【分析】（1）①当AB在直线DE上方时，由平行线的性质可得∠AOC=∠BAO=30°，则∠AOD=∠AOC+∠COD=70°，然后除以速度可得时间；②当AB在直线DE下方时，由平行线的性质可得∠COB=∠B=60°，则∠BOD=∠BOC-∠COD=20°，∠AOD=110°，直角三角板AOB绕点O旋转的角度为250°，据此求解；
（2）分OA平分∠COD、OC平分∠AOD、OD平分∠AOC，根据角平分线的概念求出∠AOD的度数，据此求解；
（3）当OA与OC重合时，10t=40+4t；当OB与OE重合时，10t=90；当OB与OD重合时，10t=270；当0≤t<时，∠BOE-∠AOC=(90-10t)-(40+4t-10t)=30°；当≤t<9时，∠BOE-∠AOC=(90-10t)-(10t-40-4t)=30°；当9≤t<27时，∠BOE-∠AOC=(10t-90)-(10t-40-4t)=30°；当27≤t<36时，∠BOE-∠AOC=[360-(10t-90)]-(10t-40-4t)=30°，求解即可.
1 / 1重庆市第八中学2022-2023学年七年级下学期入学测试数学试题
一、单选题
1．（2023七下·重庆开学考）3的相反数是（ ）
A． -3 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：3的相反数是 .
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2023七下·重庆开学考）要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子.能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，
能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线，
故A，B，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据两点确定一条直线进行解答.
3．（2019七上·龙湖期末）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104 B．589.73×106
C．5.8973×108 D．0.58973×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】589 730 000=5.8973×.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义，将589 730 000表示成a×（其中，n=整数位数-1）.
4．（2023七下·重庆开学考）关于单项式-y，下列说法正确的是（ ）
A．系数为3 B．次数为- C．次数为3 D．系数为
【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式- y的系数是： ，次数是：3.
故答案为：C.
【分析】单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此解答.
5．（2023七下·重庆开学考） ，则的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-5 D．5
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得x+y-3=0、m-n+1=0，则x+y=3，m-n=-1，将待求式变形为-(m-n)-2(x+y)，据此计算.
6．（2023七下·重庆开学考）如图，数轴上的点A、B分别对应数a、b，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴的定义及绝对值的意义得： 且 ，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】由数轴可得a<07．（2023七下·重庆开学考）如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．5 B．40 C．28 D．20
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 .
则 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，则a=2，b=14-2×2=10，然后根据长方体的体积=长×宽×高进行计算.
8．（2023七下·重庆开学考）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.8小时，已知轮船在静水中速度为每小时30千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离.若设两地距离为千米，则可得方程（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设两地距离为 千米，根据题意得，
，
故答案为：D.
【分析】由题意可得顺流所用的时间为，逆流所用的时间为，然后根据顺流所用时间比逆流回到甲地少1.8小时就可列出方程.
9．（2017七上·五莲期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（ ）
A．84 B．108 C．135 D．152
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第①个图形有3颗棋子，
第②个图形一共有3+6=9颗棋子，
第③个图形一共有3+6+9=18颗棋子，
第④个图形有3+6+9+12=30颗棋子，
…，
第⑧个图形一共有3+6+9+…+24=3×（1+2+3+4+…+7+8）=108颗棋子．
故选：B．
【分析】由题意可知：最里面的三角形的棋子数是6，由内到外依次比前面一个多3个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可．
二、多选题
10．（2023七下·重庆开学考）如图，下列条件中能判断直线的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C,D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由 ，“由同位角相等，两直线平行”可得 ，符合题意；
B、由 ，“由内错角相等，两直线平行”可得 ，符合题意；
C、由 ，“由同旁内角互补，两直线平行”可得 ，符合题意；
D、如图，作 ，
符合题意；
故答案为：ABCD.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
三、填空题
11．（2023七下·重庆开学考）若与是同类项，则 .
【答案】9
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解∶已知 与 是同类项，所以， ，
则 ，
则
故答案为∶9.
【分析】同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，则m-2=4，n+7=4，求出m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
12．（2023七下·重庆开学考）在方程-3（★-9）＝5x-1中，★处被盖住了一个数字，如果已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是 .
【答案】1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x＝5代入方程，得：-3（★-9）＝25-1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故答案为：1.
【分析】将x=5代入方程中进行计算可得★处的数字.
13．（2023七下·重庆开学考）如图，线段上依次有D，B，E三点，其中点B为线段的中点，，若，则等于 .
【答案】8
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B为线段 的中点，
∴ ，
故答案为：8.
【分析】由已知条件可知AD=BE，根据线段的和差关系可得AB=DE=4，由中点的概念可得AC=2AB，据此计算.
14．（2023七下·重庆开学考）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 .
【答案】52°
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由翻折可知，
，
，
是长方形，
，
，
故答案为：52°.
【分析】由折叠的性质可得∠CEG=2∠FEC=128°，由邻补角的性质可得∠BEG的度数，根据长方形的性质可得AC∥BD，利用平行线的性质可得∠1=∠BEG，据此解答.
15．（2023七下·重庆开学考）美加外校七年级学生在班主任的带领下赶赴劳动实践基地开展实践劳动，七年级（1）班的同学在进行劳动前需要分成x组，若每小组分配12人，则余下5人；若每组14人，则有一组少5人；若每组分配13人时，则该班可分成 组.
【答案】5
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设需要分成x组
由题意得 ，
解得 ，
∴七年级（1）班一共有 人，
∴每组分配13人时，则该班可分成 组.
故答案为：5.
【分析】设需要分成x组，由每小组分配12人，则余下5人可得总人数为12x+5；根据每组14人，则有一组少5人可得总人数为14(x-1)+14-5，由总人数一定建立关于x的方程，求出x的值，然后求出总人数，据此解答.
四、解答题
16．（2023七下·重庆开学考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）直接根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先计算乘方，然后计算乘法，最后计算减法即可.
17．（2023七下·重庆开学考）解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
移项得； ，
合并同类项得： ，
系数化为1得；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得； ，
合并同类项得： ，
系数化为1得； .
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
18．（2023七下·重庆开学考）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式 ，
当 ， 时，代入原式得：
原式 .
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据去括号、合并同类项法则即可对原式进行化简，然后将x、y的值代入进行计算.
19．（2023七下·重庆开学考）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵（已知），
∴，（① ）
∵平分，
∴②▲ .（③ ）
∴.（④ ）
∵（已知），
∴⑤▲ .（⑥ ）
∴.（⑦ ）
∴.（⑧ ）
【答案】证明：∵ （已知），
∴ ，（①两直线平行，内错角相等）
∵ 平分 ，
∴② .（③角平分线的定义）
∴ .（④等量代换）
∵ （已知），
∴⑤ .（⑥同旁内角互补，两直线平行）
∴ .（⑦两直线平行，同位角相等）
∴ .（⑧等量代换）
故答案为：①两直线平行，内错角相等，②∠1＝∠2，③角平分线的定义，④等量代换，⑤ ，⑥同旁内角互补，两直线平行，⑦两直线平行，同位角相等，⑧等量代换.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可知AD∥BC，根据平行线的性质可得∠2=∠E，由角平分线的概念可得∠1=∠2，则∠1=∠E，由∠B+∠BCD=180°可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠1=∠CFE，据此可得结论.
20．（2023七下·重庆开学考）用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹.
一辆货车由点A出发沿山路送货，在点B和点C两次转弯后，保持与出发时相同的方向，且点C到终点D的距离与点B到点C的距离相等，请根据所给条件，确定点D的位置.
【答案】解：由题意得，如下图，点D即为所求.
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】过点C作AB的平行线，然后以C为圆心，BC长为半径画弧，与平行线交于点D.
五、单选题
21．（2023七下·重庆开学考）观察站测得一轮船在北偏西，则在轮船上看观察站的方位是（ ）
A．南偏东 B．南偏西
C．南偏东 D．南偏西
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：一轮船在观察站的北偏西 方向，则在轮船上看观察站的方向是南偏东 ，
故答案为：C.
【分析】根据位置的相对性可得：它们的方向相反，角度相同，据此解答.
六、多选题
22．（2023七下·重庆开学考）有5个正整数，，，，.某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数.①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③.
甲：取，5个正整数不能同时满足上述3个条件；
乙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数能同时满足上述3个条件；
丙：若5个正整数，，，，同时满足上述3个条件，则（k为正整数）；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则：与：之和被10整除.
以上结论正确的有（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A,B,C
【知识点】推理与论证；整除（奥数类）
【解析】【解答】解：甲：若 ，
由条件①可得， ，
由条件②可得， ，
由条件③可得， ，
解得 ，
而 为奇数，不符合条件，
故甲结论正确；
乙：若 是4的倍数，设 （n是正整数），
条件①可得， ，
条件②可得， ，
由条件③可得， ，
解得 ，
可知 为奇数，符合题意，
故乙结论正确；
丙：设 （k为正整数）
由条件①可得， ，
条件②可得， ， ， 是奇数，
条件③可得， ，
得 ，
∵k是正整数，
∴ 是正偶数，
故丙结论正确；
丁：设 （m是正整数），
由条件①可得， ，
条件②可得， ， ， 是奇数，
条件③可得， ，
∴
，
只有当 为10的倍数时， 与： 之和被10整除，
故丁结论错误；
综上所述，正确的同学有甲乙丙.
故答案为：ABC.
【分析】若a2=6，根据条件①②③可得a4的值，据此判断甲；若a2是4的倍数，设a2=4n （n是正整数），同理表示出a4，据此判断乙；设a5=6k+1（k为正整数），表示出a2=4k，据此判断丙；设 a1=2m（m是正整数），根据条件①②③可得a1+a2+a3=3a1+6，a4=a5-2，a1+a2+a3=a4+a5，然后表示出，据此判断丁.
七、填空题
23．（2023七下·重庆开学考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：大扇形的圆心角是 ，半径是 ，
所以面积为： (m2)；
小扇形的圆心角是 ，半径是 ，
则面积为： (m2)；
小羊A在草地上的最大活动区域面积为： (m2).
故答案为： .
【分析】根据扇形的面积公式求出大扇形的面积，小扇形的面积，然后相加即可.
24．（2023七下·重庆开学考）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = .
【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘14，去分母得
，
整理得 ，
∵无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】方程两边都乘14，然后整理可得(2x+7b)k+14x=14+2a，由题意可得2+7b=0，14+2a=14，求出a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
25．（2023七下·重庆开学考）如图，直线垂直于直线AB、分别交于点、，，直线、间存在、两点，使得、，与的角平分线相交于点，，，则 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ，
设 ，
，
， 分别平分 ，
，
，
， ，
；
故答案为： .
【分析】根据垂直的概念可得∠BEF=∠DFE=90°，设∠PEF=∠BEQ=α，∠PFE=∠QFD=β，则∠FEQ=90°-α，∠QFE=90°-β，根据角平分线的概念可得∠FER=45°-α，∠EFR=45°-β，则∠PER=45°+α，∠PFR=45°+β，由内角和定理可得α+β=100°，根据2∠PER-∠PFR=64°可得α-β=19°，据此可得α、β的度数，进而求出∠PER、∠PFR、∠BEQ的度数，据此求解.
八、解答题
26．（2023七下·重庆开学考）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算.例如：.
（1）计算：；
（2）解方程；
（3）若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对.
【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意得： ，
，
，
；
（3）解：∵x，y为整数且
∴ ，
∴
又∵ 为整数，
∴ 为整数，
∴ 或 ，
∴ ，
∴对应的
综上：所以满足条件的数对有 .
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式= ，计算即可；
（2）根据定义的新运算可得，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（3）根据定义的新运算可得，为整数，则x+2y=11、2-x=±1或±7，求出x、y的值，进而可得满足条件的数对.
27．（2023七下·重庆开学考）某商场在春节期间推出各种优惠活动进行促销，小林准备在三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/件的羽绒服若干件，已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠：
甲店：春节期间购买可以再享受八五折优惠；
乙店：春节期间下单可享立减活动：①当购买数量不超过10件，每件立减110元，
②当购买数量超过10件，超过的部分每件立减200元；
丙店：商品在原价基础上每满1000元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商场春节购物津贴券30元，同时春节期间下单每单还可立减20元（例如：购买2条羽绒服需支付1000×80%×2-50×2-30×5-20=1330元）
（1）小林准备购买6件羽绒服作一单购买，请问在哪家店铺购买更便宜；
（2）若小林在春节期间下单，且购买了a件同款羽绒服，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用.（说明：小林要买的a件羽绒服作一单购买）
【答案】（1）解：由题意得：
在甲店购买花费： （元）
在乙店购买花费： （元）
在丙店购买花费： （元）
∵ ，∴选择丙店更加便宜
答：小林在丙店购买6件羽绒服更便宜.
（2）解：设在甲、乙、丙三家店购买费用分别为 、 、
在甲店花费：
在乙店花费：
当 时，
当 时，
在丙店花费：
当a能被2整除时，
当a不能被2整除时，
【知识点】列式表示数量关系；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）利用数量×原价×80%×0.85可得在甲店购买的费用；根据原价×80%-100，然后乘以数量可得在乙店购买的费用；根据数量×原价×80%-数量×50-30×15-20可得在丙店购买的费用，然后进行比较即可；
（2）设在甲、乙、丙三家店购买费用分别为y1、y2、y3，同理可表示出y1、y2、y3.
28．（2023七下·重庆开学考）如图①，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为秒，且.
（1）若射线的位置保持不变，则当旋转时间 秒时，边所在直线与平行；
（2）如图②，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）在三角板旋转过程的同时，射线绕着点按每秒的速度逆时针旋转，当时，求出的取值.
【答案】（1）7或25
（2）解：存在，① 平分 ， ，
，解得 ；
②若 平分 ， ，
，解得 ；
③若 平分 ，
，解得 ，
综上所述， 2s或8s或32s；
（3）解：由题意得：
与 重合时， ，解得： ，
与 重合时， ，解得： ，
与 重合时： ，解得： ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： （舍）；
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： .
综上所述： s或 s或 s.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①如图，当 在直线 上方时，
∵ ，
，
，
直角三角板绕点 按每秒 的速度旋转，
；
②如图，当 在直线 下方时，
∵ ，
，
， ，
直角三角板 绕点 旋转的角度为 ，
直角三角板 绕点 按每秒 的速度逆时针旋转，
，
故当 s或 s时，边 所在直线与 平行；
【分析】（1）①当AB在直线DE上方时，由平行线的性质可得∠AOC=∠BAO=30°，则∠AOD=∠AOC+∠COD=70°，然后除以速度可得时间；②当AB在直线DE下方时，由平行线的性质可得∠COB=∠B=60°，则∠BOD=∠BOC-∠COD=20°，∠AOD=110°，直角三角板AOB绕点O旋转的角度为250°，据此求解；
（2）分OA平分∠COD、OC平分∠AOD、OD平分∠AOC，根据角平分线的概念求出∠AOD的度数，据此求解；
（3）当OA与OC重合时，10t=40+4t；当OB与OE重合时，10t=90；当OB与OD重合时，10t=270；当0≤t<时，∠BOE-∠AOC=(90-10t)-(40+4t-10t)=30°；当≤t<9时，∠BOE-∠AOC=(90-10t)-(10t-40-4t)=30°；当9≤t<27时，∠BOE-∠AOC=(10t-90)-(10t-40-4t)=30°；当27≤t<36时，∠BOE-∠AOC=[360-(10t-90)]-(10t-40-4t)=30°，求解即可.
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