1.5.2余弦函数的图像与性质再认识 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
北师大版（2019）高中数学必修第二册
第一章 三角函数
第5节 余弦函数的图像
与性质再认识
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”画余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握余弦函数的图象与性质及应用 数学运算、直观想象
右图是我们已经很熟悉的单位圆，我
们用它来定义了任意角的正弦函数、余弦
函数.
但既然是函数，我们就得掌握它的图
象和性质，显然，要研究图象和性质，单
位圆已经不够用了，我们得按照函数的定
义，将角度看成自变量，三角函数值看成
因变量.
今天，我们就进一步来学习余弦函数
的图象和性质.
余弦函数的图像
1，单位圆与余弦函数的图象：
分别在单位圆和平面直角坐标系中，描出下列表格中的点.
余弦函数的图像
2，余弦函数在上的图象：
将函数的图象向左、向右(每次平移个单位长度)，
就可以得到余弦函数的图象，余弦函数的图象称余弦曲线.
余弦函数的图像
3，余弦函数图象与正弦函数图象的关系：
由诱导公式
可知，余弦函数的图象
可由正弦函数的图象向
左平移个单位得到.
思考：
在对函数图象的精度要求不太高时，如何画出函数在的大致
图象？
五点(画图)法
y 1 0 -1 1
x 0
1，(五点法)画余弦函数的图象：
①建立平面直角坐标系.
横坐标为角度(弧度制)，
纵坐标为余弦函数值.
②描点.
,
.
③用光滑的曲线将它们
顺次连接起来.
五点(画图)法
余弦函数的性质
思考：
请观察余弦函数的图象(如图)，试着说说余弦函数有哪些函数性质.
余弦函数的性质
1，定义域：
2，周期性:
T=
由于余弦函数的图象是由正弦曲线向左平移个单位
长度得到的，可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π
③为了研究问题方便，可以任取实数，讨论在区间
的性质，然后延拓到定义域上.
余弦函数的性质
3，单调性：
余弦函数的周期性可知，
余弦函数在每一个区间单调递增，
在每一个区间单调递减.
余弦函数的性质
4，最大(小)值和值域：
当时，余弦函数取得最大值1.
当时，余弦函数取得最小值，
从余弦函数的图象(如图)可以看出，余弦曲线夹在两条平行线和
之间，所以余弦函数的值域是.
余弦函数的性质
5，奇偶性：
由余弦曲线(如图所示)可知，其图象关于y轴对称，
由诱导公式可知，，
所以余弦函数是偶函数.
余弦函数的性质
6，对称性：
由余弦曲线的图象可知
对称中心，
对称轴.
典例剖析
1，函数的图象：(教材P36例5)
①建立平面直角坐标系.
横坐标为角度(弧度制)，
纵坐标为正弦函数值.
②描点.
,
.
③用光滑的曲线将它们
顺次连接起来，得到函
数在上的图象.
④按周期将其延拓到，
就能得到函数在上的图象.
余弦函数的性质
余弦函数图象的简单变换
函数的图象：
会影响图象上各点的纵坐标，
越大，图象的波动幅度越大，
越小，图象的波动幅度越小.
典例剖析
例4 画出函数在一个周期上的图象.
解：按五个关键点列表(如表)，
于是得到函数在
区间上的五个关键点为
，， ，
，.描点，并用光滑
曲线将它们顺次连接起来，就画
出函数在一个周期
上的图象(如图).
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点． (　　)
(3)函数y＝2cos x是偶函数． (　　)
(4)函数y＝cos x的最小正周期是π. (　　)
√
√
√
×
2．函数y＝cos 2x，下列说法正确的是 (　　)
A．奇函数，最小正周期为π
B．奇函数，最小正周期为2π
C．偶函数，最小正周期为π
D．偶函数，最小正周期为2π
C
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[2π， 4π]的图象 (　　)
A．重合　　　　　　　 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：根据余弦曲线的作法可知函数y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，形状相同．
B
题型一　余弦函数的图象及应用
角度一　“五点法”作余弦函数的图象
【例1】　(链接教科书例4)画函数y＝2cos x＋3，x∈[0，2π]的图象．
解　(1)列表：
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．
|通性通法|
用五点法画函数y＝Acos x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的图象的步骤
(1)列表：
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来．　
|通性通法|
与余弦函数图象有关的根的个数问题的处理策略
判断f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数时，运用数形结合的方法，转化为函数图象交点的个数．由于余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数．　
|通性通法|
用余弦函数图象解不等式的步骤
(1)作出余弦函数在区间[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据余弦函数周期确定取值范围．　
1．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内的所有根的和为 (　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．1
C．0 D．－1
解析：如图所示，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝|x|与g(x)＝cos x的图象，易知两个函数的图象在(－∞，＋∞)内只有两个交点，即原方程有两个根，且两根互为相反数，故和为0.
C
2．满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的取值范围为____________________．
3．作出函数y＝－cos x＋1，x∈[0，2π]的图象．
解：(1)列表：
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．
题型二　余弦函数的单调性及应用
【例4】　(1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
解　因为y＝cos x在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减，
所以y＝1－cos x的单调递减区间是[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)．
|通性通法|
1．对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
2．单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．　
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是__________________；
解析：由于y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
<
解析　因为cos x∈[－1，1]，
(2)函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为________．
解析　令t＝cos x，则－1≤t≤1.
所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
所以t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.
所以函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2，10]．
[2，10]
|通性通法|
求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝acos x＋b的函数的最值或值域问题时，利用余弦函数的有界性(－1≤cos x≤1)求解．求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑余弦函数的周期性；
(2)求解形如y＝acos2x＋bcos x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝cos x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝cos x的有界性．　
D
课堂小结
知识点二　余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 _______
值域 _______
奇偶性 _______
周期性 以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，_______为最小正周期
单调性 在区间_____________ (k∈Z)上单调递增；
在区间_____________ (k∈Z)上单调递减
[－1，1]
偶函数
2π
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
最大值与 最小值 当x＝_______ (k∈Z)时，最大值为1；
当x＝________ (k∈Z)时，最小值为－1
对称轴 x＝_________
对称中心 __________________
2kπ
2kπ＋π
kπ，k∈Z
教材对应习题
三维设计对应习题
课后作业
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北师大版（2019）高中数学必修第二册