湘教版七年级下册2.2乘法公式 知识点分类练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湘教版七年级下册2.2乘法公式 知识点分类练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 226.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-07 15:58:56 | ||
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文档简介
2022-2023学年湘教版七年级数学下册《2.2乘法公式》知识点分类练习题（附答案）
一．平方差公式
1．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）
2．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（ ）
A．20 B．22 C．26 D．24
4．同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！想办法计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．
5．若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
6．（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（ ）
A．1 B．316﹣216 C．332+232 D．332﹣232
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2
8．计算：．
9．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
二．平方差公式的几何背景
10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长边的长为（ ）
A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
12．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
13．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ ，S2＝ （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
14．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
15．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
三．完全平方公式
16．计算：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2．
17．若（x﹣2）2＝x2+mx+n，则m，n的值分别是（ ）
A．4，4 B．﹣4，4 C．﹣4，﹣4 D．4，﹣4
18．（2a﹣m）2＝4a2+2a+，则m＝（ ）
A． B． C． D．
19．已知（x﹣p）2＝x2+mx+36，则m＝ ．
20．若（x﹣）2展开后等于x2+ax+，则a的值为 ．
21．如果x+y＝﹣5，xy＝6，那么x2+y2＝ ．
22．设（2a+b）2＝（2a﹣b）2+A，则A＝ ．
23．已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，则ab的值是 ．
24．已知（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝2021，则（a﹣2019）（a﹣2020）＝ ．
25．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，有着不同的应用指向．如图，在贾宪三角中，第三行的三个数（1，2，1）对应着两数和的平方（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数，类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1，3，3，1）对应着两数和的立方（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数，第五行的五个数（1，4，6，4，1）对应着两数和的四次方（a+b）4的展开式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．根据此规律，（a+b）6的展开式中字母a、b指数相同的项为 ．
四．完全平方公式的几何背景
26．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为 ．
27．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a2+b2＝300，ab＝12，则阴影部分的面积为 ．
28．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释为等式；
（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．
29．如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
（1）如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
（2）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
30．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2、（m﹣n）2、mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
31．如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分面积．
32．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
33．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
五．完全平方式
34．若多项式4x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 ．
35．若x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，则实数m＝ ．
36．若多项式x2+4x﹣m是一个完全平方式，则m＝ ．
37．若x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，则实数a的值是 ．
参考答案
一．平方差公式
1．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．
故选：B．
2．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，
∴（a+b）（a﹣b）＝30，
∴a﹣b＝30÷6＝5，
故选：A．
3．解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
∵20、22、26都不是8的倍数，
∴它们不是“创新数”，
∵24是8的倍数，
∴24是“创新数”，且24＝72﹣52，
故选：D．
4．解：原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）+...+（1+）×（1﹣）
＝
＝
＝．
5．解：a＝20210＝1；
b＝2020×2022﹣20212
＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
c＝（﹣）2020×（）2021
＝（﹣×）2020×
＝；
∴b＜a＜c．
故选：B．
6．解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）
＝（38﹣28）×（38+28）
＝316﹣216．
故选：B．
7．解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．
故选：D．
8．解：原式＝
＝
＝2022．
9．解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
二．平方差公式的几何背景
10．解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
11．解：由题意得，所剪梯形的两底各为a+4和a+1，
∴该长方形较长边的长为：
（a+4）+（a+1）＝a+4+a+1＝2a+5，
故选：A．
12．解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
13．解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）题结论可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
14．解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，
20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
15．解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
三．完全平方公式
16．解：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝﹣x2﹣3xy﹣7y2．
17．解：∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，（x﹣2）2＝x2+mx+n，
∴x2﹣4x+4＝x2+mx+n，
∴m＝﹣4，n＝4．
故选：B．
18．解：∵（2a﹣m）2＝4a2﹣4ma+m2，（2a﹣m）2＝4a2+2a+，
∴4a2﹣4ma+m2＝4a2+2a+，
∴﹣4m＝2，
解得：m＝﹣，
故选：D．
19．解：因为（x﹣p）2＝x2﹣2px+p2，（x﹣p）2＝x2+mx+36，
所以m＝﹣2p，p2＝36，
所以m＝﹣2p，p＝±6，
所以m＝﹣12或12．
故答案为：﹣12或12．
20．解：根据题意，可得：
（x﹣）2＝x2+ax+，
∵（x﹣）2＝x2﹣x+，
∴x2﹣x+＝x2+ax+，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
21．解：由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当x+y＝﹣5，xy＝6时，
x2+y2＝（﹣5）2﹣2×6＝25﹣12＝13，
故答案为：13．
22．解：因为（2a+b）2＝（2a﹣b）2+A，（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab，
所以A＝8ab．
故答案为：8ab．
23．解：∵a+b＝5，（a﹣b）2＝13，
∴a2+b2+2ab＝25①，a2+b2﹣2ab＝13②，
则①﹣②可得：4ab＝12，
所以ab＝3．
故答案为：3．
24．解：设a﹣2019＝x，2020﹣a＝y，则x+y＝1，
∵（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝2021，
∴x2+y2＝2021，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝1﹣2021＝﹣2020，
即xy＝﹣1010，
∴（a﹣2019）（2020﹣a）＝xy＝﹣1010，
∴（a﹣2019）（a﹣2020）
＝﹣（a﹣2019）（2020﹣a）
＝﹣xy
＝1010．
故答案为：1010．
25．解：根据规律直接写出（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b3+6ab4+b5，
所以（a+b）6的展开式中字母a、b指数相同的项为20a3b3．
故答案为：20a3b3．
四．完全平方公式的几何背景
26．解：由拼图可得小正方形的边长是小矩形长与宽的差，
即a﹣b，
∴中间小正方形的面积为（a﹣b）2．
故答案应为：（a﹣b）2．
27．解：∵a2+b2＝300，ab＝12，
∴＝
＝＝144．
故答案为：144．
28．解：（1）∵图3面积为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
∴图3可以解释为等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示：
整式乘法验证，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，
∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块．
29．解：（1）∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由计算（2a+b）2＝4a2+4ab+b2可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
30．解：（1）由题意得，图乙中阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
（2）图乙中阴影部分的面积可表示为：（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；
（3）由图乙中阴影部分的面积可得等式：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（4）由（3）题结果（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2可得，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴当a+b＝6，ab＝3时，
（a﹣b）2＝62﹣4×3＝36﹣12＝24，
即：（a﹣b）2＝24．
31．解：（1）由题意得：图2中阴影部分的正方形边长为：a﹣b．
故答案为：a﹣b．
（2）图2中阴影部分面积为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）设AC＝x，BC＝y，由题意得：x+y＝8，x2+y2＝S1+S2＝34．
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy．
∴64＝34+2xy．
∴xy＝15．
∴S阴影＝AC CF＝xy＝7.5．
32．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
33．解：（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴当x+y＝8，x2+y2＝30时，
xy＝＝＝＝17；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当（4﹣x）x＝3时，
（4﹣x）2+x2＝[（4﹣x）+x]2﹣2（4﹣x）x
＝42﹣2×3
＝16﹣6
＝10，
故答案为：10；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴当（3﹣x）（5﹣x）＝6时，
（3﹣x）2+（5﹣x）2＝[（3﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（3﹣x）（5﹣x）＝（﹣2）2+2×6＝4+12＝16，
故答案为：16；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，＝，
∴当AC+BC＝AB＝10，AC2+BC2＝S1+S2＝52时，
图中阴影部分面积＝＝＝＝＝＝12．
五．完全平方式
34．解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25＝（2x）2+kx+52＝（2x±5）2，
∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，
∴kx＝±20x，解得k＝±20．
故答案为：±20．
35．解：∵x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，
∴﹣（m﹣1）＝±14，
解得：m＝15或﹣13．
故答案为：15或﹣13．
36．解：∵多项式x2+4x﹣m是一个完全平方式，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
37．解：∵x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，x2﹣2（a+1）xy+9y2＝x2﹣2（a+1）xy+（3y）2，
∴﹣2（a+1）xy＝±2×x×3y，
解得a+1＝±3，
∴a＝2或a＝﹣4．
故答案为：2或﹣4．
一．平方差公式
1．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）
2．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（ ）
A．20 B．22 C．26 D．24
4．同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！想办法计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．
5．若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
6．（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（ ）
A．1 B．316﹣216 C．332+232 D．332﹣232
7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2
8．计算：．
9．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
二．平方差公式的几何背景
10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长边的长为（ ）
A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
12．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
13．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ ，S2＝ （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
14．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
15．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
三．完全平方公式
16．计算：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2．
17．若（x﹣2）2＝x2+mx+n，则m，n的值分别是（ ）
A．4，4 B．﹣4，4 C．﹣4，﹣4 D．4，﹣4
18．（2a﹣m）2＝4a2+2a+，则m＝（ ）
A． B． C． D．
19．已知（x﹣p）2＝x2+mx+36，则m＝ ．
20．若（x﹣）2展开后等于x2+ax+，则a的值为 ．
21．如果x+y＝﹣5，xy＝6，那么x2+y2＝ ．
22．设（2a+b）2＝（2a﹣b）2+A，则A＝ ．
23．已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，则ab的值是 ．
24．已知（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝2021，则（a﹣2019）（a﹣2020）＝ ．
25．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，有着不同的应用指向．如图，在贾宪三角中，第三行的三个数（1，2，1）对应着两数和的平方（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数，类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1，3，3，1）对应着两数和的立方（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数，第五行的五个数（1，4，6，4，1）对应着两数和的四次方（a+b）4的展开式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．根据此规律，（a+b）6的展开式中字母a、b指数相同的项为 ．
四．完全平方公式的几何背景
26．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为 ．
27．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a2+b2＝300，ab＝12，则阴影部分的面积为 ．
28．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释为等式；
（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．
29．如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
（1）如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
（2）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
30．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2、（m﹣n）2、mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
31．如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分面积．
32．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
33．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
五．完全平方式
34．若多项式4x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 ．
35．若x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，则实数m＝ ．
36．若多项式x2+4x﹣m是一个完全平方式，则m＝ ．
37．若x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，则实数a的值是 ．
参考答案
一．平方差公式
1．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．
故选：B．
2．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，
∴（a+b）（a﹣b）＝30，
∴a﹣b＝30÷6＝5，
故选：A．
3．解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
∵20、22、26都不是8的倍数，
∴它们不是“创新数”，
∵24是8的倍数，
∴24是“创新数”，且24＝72﹣52，
故选：D．
4．解：原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）+...+（1+）×（1﹣）
＝
＝
＝．
5．解：a＝20210＝1；
b＝2020×2022﹣20212
＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
c＝（﹣）2020×（）2021
＝（﹣×）2020×
＝；
∴b＜a＜c．
故选：B．
6．解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）
＝（38﹣28）×（38+28）
＝316﹣216．
故选：B．
7．解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．
故选：D．
8．解：原式＝
＝
＝2022．
9．解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
二．平方差公式的几何背景
10．解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
11．解：由题意得，所剪梯形的两底各为a+4和a+1，
∴该长方形较长边的长为：
（a+4）+（a+1）＝a+4+a+1＝2a+5，
故选：A．
12．解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
13．解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）题结论可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
14．解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，
20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
15．解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
三．完全平方公式
16．解：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝﹣x2﹣3xy﹣7y2．
17．解：∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，（x﹣2）2＝x2+mx+n，
∴x2﹣4x+4＝x2+mx+n，
∴m＝﹣4，n＝4．
故选：B．
18．解：∵（2a﹣m）2＝4a2﹣4ma+m2，（2a﹣m）2＝4a2+2a+，
∴4a2﹣4ma+m2＝4a2+2a+，
∴﹣4m＝2，
解得：m＝﹣，
故选：D．
19．解：因为（x﹣p）2＝x2﹣2px+p2，（x﹣p）2＝x2+mx+36，
所以m＝﹣2p，p2＝36，
所以m＝﹣2p，p＝±6，
所以m＝﹣12或12．
故答案为：﹣12或12．
20．解：根据题意，可得：
（x﹣）2＝x2+ax+，
∵（x﹣）2＝x2﹣x+，
∴x2﹣x+＝x2+ax+，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
21．解：由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当x+y＝﹣5，xy＝6时，
x2+y2＝（﹣5）2﹣2×6＝25﹣12＝13，
故答案为：13．
22．解：因为（2a+b）2＝（2a﹣b）2+A，（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab，
所以A＝8ab．
故答案为：8ab．
23．解：∵a+b＝5，（a﹣b）2＝13，
∴a2+b2+2ab＝25①，a2+b2﹣2ab＝13②，
则①﹣②可得：4ab＝12，
所以ab＝3．
故答案为：3．
24．解：设a﹣2019＝x，2020﹣a＝y，则x+y＝1，
∵（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝2021，
∴x2+y2＝2021，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝1﹣2021＝﹣2020，
即xy＝﹣1010，
∴（a﹣2019）（2020﹣a）＝xy＝﹣1010，
∴（a﹣2019）（a﹣2020）
＝﹣（a﹣2019）（2020﹣a）
＝﹣xy
＝1010．
故答案为：1010．
25．解：根据规律直接写出（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b3+6ab4+b5，
所以（a+b）6的展开式中字母a、b指数相同的项为20a3b3．
故答案为：20a3b3．
四．完全平方公式的几何背景
26．解：由拼图可得小正方形的边长是小矩形长与宽的差，
即a﹣b，
∴中间小正方形的面积为（a﹣b）2．
故答案应为：（a﹣b）2．
27．解：∵a2+b2＝300，ab＝12，
∴＝
＝＝144．
故答案为：144．
28．解：（1）∵图3面积为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
∴图3可以解释为等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示：
整式乘法验证，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，
∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块．
29．解：（1）∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由计算（2a+b）2＝4a2+4ab+b2可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
30．解：（1）由题意得，图乙中阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
（2）图乙中阴影部分的面积可表示为：（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；
（3）由图乙中阴影部分的面积可得等式：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（4）由（3）题结果（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2可得，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴当a+b＝6，ab＝3时，
（a﹣b）2＝62﹣4×3＝36﹣12＝24，
即：（a﹣b）2＝24．
31．解：（1）由题意得：图2中阴影部分的正方形边长为：a﹣b．
故答案为：a﹣b．
（2）图2中阴影部分面积为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）设AC＝x，BC＝y，由题意得：x+y＝8，x2+y2＝S1+S2＝34．
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy．
∴64＝34+2xy．
∴xy＝15．
∴S阴影＝AC CF＝xy＝7.5．
32．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
33．解：（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴当x+y＝8，x2+y2＝30时，
xy＝＝＝＝17；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当（4﹣x）x＝3时，
（4﹣x）2+x2＝[（4﹣x）+x]2﹣2（4﹣x）x
＝42﹣2×3
＝16﹣6
＝10，
故答案为：10；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴当（3﹣x）（5﹣x）＝6时，
（3﹣x）2+（5﹣x）2＝[（3﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（3﹣x）（5﹣x）＝（﹣2）2+2×6＝4+12＝16，
故答案为：16；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，＝，
∴当AC+BC＝AB＝10，AC2+BC2＝S1+S2＝52时，
图中阴影部分面积＝＝＝＝＝＝12．
五．完全平方式
34．解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25＝（2x）2+kx+52＝（2x±5）2，
∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，
∴kx＝±20x，解得k＝±20．
故答案为：±20．
35．解：∵x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，
∴﹣（m﹣1）＝±14，
解得：m＝15或﹣13．
故答案为：15或﹣13．
36．解：∵多项式x2+4x﹣m是一个完全平方式，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
37．解：∵x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，x2﹣2（a+1）xy+9y2＝x2﹣2（a+1）xy+（3y）2，
∴﹣2（a+1）xy＝±2×x×3y，
解得a+1＝±3，
∴a＝2或a＝﹣4．
故答案为：2或﹣4．