8.6.1直线与直线垂直（课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）(共16张PPT)

(共16张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
8.6.1直线与直线垂直
相交直线
平行直线
异面直线
空间中两条直线的位置关系
异面直线的定义：既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内的两条直线.
直线A1D1与直线A1C1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
平面内两条相交直线所成角：两条直线相交成四个角中，其中不大于90°的角称为它们的夹角
(刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度)
O
用“异面直线所成角”来定义两条异面直线的位置关系
异面
共面
异面直线所成角的定义
(1)定义：直线a、b为异面直线，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角.
①异面直线所成角的取值范围：
⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角， 则异面直线所成角应取其补角。
异面直线
相交直线
平移
③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小.
通常把点O取在直线a或b上
②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。
④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角).
异面直线a与b所成的角：平移至相交所成的锐角(或直角)
求异面直线所成角——构造特殊三角形
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
求直线A1B与C1C所成的角大小;
(2) 求直线A1B与AC 所成的角大小;
(3) 求直线A1B与DC1所成的角大小;
法一：直接平移法
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角;
求异面直线所成角——构造特殊三角形
法二：中位线平移法
(5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小;
求异面直线所成角——构造特殊三角形
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
求直线A1B与C1C所成的角大小;
(2) 求直线A1B与AC 所成的角大小;
(3) 求直线A1B与DC1所成的角大小;
法一：直接平移法
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角;
求异面直线所成角——构造特殊三角形
法二：中位线平移法
(5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小;
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(6)若M分别是AB的中点，求直线CM与DB1所成角的余弦值.
求异面直线所成角——正/余弦定理
法三：补形平移法
求异面直线所成角的巩固
[练习1]如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2， AD=1，
求直线A1C1与D1B所成角的余弦值.
法一(直接&中位线平移法)
法二(补形平移法)
[例2.1]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O，
求证：AO⊥BD.
证线线垂直的方法
思路1：求△AOB1三边长，由
勾股定理逆定理得∠AOB1=90°
思路2：构造等边△AD1B1，O为D1B1的中点，得∠AOB1=90°
证线线垂直的方法：①勾股定理逆定理 （求三边)
②等腰(边)三角形的中线也是高，垂直于底边；
③异面直线所成的角为90°．
[例2.2]如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2. 求证：BE⊥AC′.
证明：取CC′的中点F，连EF，BF，
∵E, F分别为AC, CC′的中点，
∴△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，
∴∠BEF=90°
∴异面直线BE和AC′所成角是90°，即BE⊥AC′
目的：求证异面直线BE和AC′所成角为90°
∴EF∥AC′，∴∠BEF为异面直线BE和AC′所成角，
证线线垂直的方法
作业答案
[练习2]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M,N分别是BB1,CC1的中点，
求直线AM与BN所成角的余弦值.
求异面直线所成角——构造特殊三角形
(2)
[变式1]
(3)
[变式2]
AC与BD
75°或15°
60°
60°
1
90°
求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角或其补角
平移方法：①直接平移法；②中位线平移法；③补形平移法
求相交角的方法：①观察得特殊△；②求三边定形状or余弦定理
体对角线的平移：①构造其中位线；②补体
[例]正方体中,
求证:AO⊥BD.
证线线垂直的方法：
①求证异面直线所成角为90°；
②求三边&勾股定理逆定理；
③等腰(等边△)的中线也为垂线，垂直于底边.
长方体中,AB=AA1=2, AD=1,求直线A1C1与D1B所成角的余弦值.
END