2022-2023学年北师大版数学九年级下册第三章 圆 常考题训练 （含解析）

第三章 圆 常考题训练
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴位置关系是（）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
3．如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图的半径为3，是弦，点C为弧的中点，若,则弦的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图，点是正五边形的中心，过点作，垂足为，则下列四个选项中正确的为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，内接于，点是上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作的一条切线为切点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，内接于，所对弧的度数为．的角平分线分别交于于点D、E，相交于点F．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论一定正确的序号数是( )
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
二、填空题
11．一个正六边形外接圆的半径等于，则这个正六边形的周长等于_________cm．
12．如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_______．
13．如图所示的正六边形，连接，则的度数是______．
14．如图，在中，弦，点为圆周上一动点，连接、，为上一点，且，，则周长的最大值为______．
15．如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．
16．如图，是的直径，C是的中点，若等于，则的度数为__________．
17．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，交于点．则阴影部分的面积为___________．
18．如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为______．
三、解答题
19．如图，为的直径，切于E，于C，交于D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
20．如图1，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交、于点F、G．
(1)是________三角形；
(2)如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，的延长线交于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗 请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的直径的长．
21．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
22．【初识模型】如图1，在中，．点为边上一点，以为边作，使，，连接，则与的数量关系是__________；
【构建模型】如图2，内接于为的直径，，点为弧上一点，连接．若，求的长；
【运用模型】如图3，等边内接于，点为弧上一点，连接．若，求的长．
参考答案：
1．C
【详解】解：由题意得，，，
故选：C．
2．C
【详解】解：∵圆心的坐标为
∴圆心与轴距离为4，等于其半径4，
∴以点为圆心，4为半径的圆与轴的关系为相切．
故选：C．
3．D
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，所对的边分别为，，，
∴，，，
∴，，．
故选：D．
4．A
【详解】解：是的切线,
，
,
故选：A
5．D
【详解】解：连接,与交于点
点为 的中点，
在中,
故选：D
6．C
【详解】解：连接，
∵点是正五边形的中心，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
观察四个选项，只有选项C符合题意，
故选：C．
7．B
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．C
【详解】解：如图所示，延长交于点，
，
，过圆心，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
故选：C．
9．D
【详解】解：作于，连接、，
如图，
当时，，则，
当时，，解得，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵最小时，的值最小，
∵最小时，最小，
∴当，即点运动到点时，最小，的值最小，
此时，
∴的最小值．
故选：D．
10．B
【详解】解：∵，
∴．
∵的角平分线分别是，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
又∵若成立，则应有，
∴，
∴，
∴，
而根据题意，没有条件可以说明是，故②错误；
如图作，
∵点F是内心，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立，因此④不正确．
故本题正确的结论为①③．
故选B．
11．6
【详解】解：如图，
正六边形的中心角，
∵
∴是等边三角形
∵
∴此正六边形的边长为，
∴这个正六边形的周长等于
故答案为：6．
12．5
【分析】利用垂径定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵为的直径，弦于点E，
∴，
∴，
∴的半径为；
故答案为：．
13．
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF中，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
【详解】解：设的周长为，
则，
，
，
点是圆周上一动点，
当时直径时，最长，
，
，，
，
，
，，
最大为；
故答案为：．
15．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
16．
【详解】解：∵，
∴，
∵C是的中点，
∴，
故答案为：．
17．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴点是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
18．
【详解】解：,
,
转动一次的路线长是：
转动第二次的路线长是：
转动第三次的路线长是：
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：
,
顶点转动四次经过的路线长为：
故答案为：
19．【详解】（1）证明：连接，
∴，
∴．
∵切于E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴，
∴，
解得，
∴的半径为2．
20．【详解】（1）是等腰三角形；..
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形；.
（2）（2）成立；..
.
延长交于H
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形；.
（3）（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径
21．【详解】（1）证明：∵，
∴ ，
∴；
（2）证明：
连接，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是的半径，
∴是的切线；
（3）解：
如图，设的半径为，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：，
∴的半径为15；
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，由勾股定理，得 ，
即，
解得，
∴ ，
∵，
∴，即 ，
∴．
方法二：
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴的半径为15；
求长的步骤同上．
22．【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，过点A作交于D，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，在上取一点D使得，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．