课件13张PPT。二阶矩阵与平面向量的乘法新课引入思考：能否直接用二阶矩阵表示线性变换呢？新课引入新课引入概念讲解--二阶矩阵与平面向量乘法的定义概念讲解--二阶矩阵与平面向量乘法的定义例题解析课堂巩固练习课堂巩固练习补充练习补充练习补充练习二阶矩阵与平面向量的乘法规则;小结作业设计课本13--14页：2、3、4、5选修4－2矩阵与变换 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
编写人： 编号：011
学习目标
了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。
学习过程：
一、预习：
（一）阅读教材，解答下列问题：
问题1、方程的解是：
问题2、定义：det(A) ＝＝
因此方程组的解为
记：D＝，Dx＝，Dy＝，所以，方程组的解为
思考：二阶矩阵与二阶行列式有什么异同？
练习：
1、求下列行列式的值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2
2、若x= （R） 试求f(x)=x2+2x-3 的最值。
二、课堂训练：
例1．利用行列式求解二元一次方程组
例2、利用行列式求解A＝ 的逆矩阵
例3、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解
三、课后巩固：
1. 甲乙两个公司均生产A，B两种产品，已知今年两个公司的销售业绩如下表（单位：万件），甲公司销售额为58万元，乙公司销售额为68万元，试求出A产品和B产品的销售单价。
A产品
B产品
甲公司
5
3
乙公司
4
6
2. 已知A＝，试求出A－1
3、已知A＝，X＝，B＝，解方程AX＝B。
4、已知可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，求a，b。
5、已知方程组AX＝B，A＝，X＝，B＝，试从几何变换的角度研究方程组的情况。
6、用几何变换的观点讨论方程的解
（1）
（2）AX＝B，其中A＝ ，B＝
课件13张PPT。二阶行列式与逆矩阵复习回顾--逆变换与逆矩阵的概念复习回顾--逆矩阵的性质性质1：对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A 存在逆矩阵,则
B = C探究性质例题回顾新课引入探究（课本50页）例题讲解概念解析定理解析例题讲解巩固练习巩固练习判断矩阵是否可逆；求行列式；求逆矩阵小结作业设计课本55页1（3）（4）、
2、（2）（3）、3、5（2）课件16张PPT。复合变换与矩阵的乘法（一）复习回顾--二阶矩阵与与平面向量的乘法法则本讲中，我们将通过考察线性变换的复合，引进二阶矩阵的乘法运算，并研究乘法的运算律新课讲解探究在直角坐标系xOy内，连续施行两次线性变换，其作用效果是否能用一个变换表示？是否存在一个二阶矩阵与这个新的变换对应？如果存在，这个二阶矩阵与原来的两个线性变换的二阶矩阵有什么关系？？新课讲解例一对应的线性变换分别为旋转变换对平面上的任意一个向量 ，依次作旋转变换 ，可以看出，作用的效果可以用一个变换 来表示，这个变换仍然是一个线性变换，对应的矩阵为：例二概念讲解--复合变换的概念概念讲解--矩阵乘法的概念规定：矩阵乘法的法则是:例题讲解,B=巩固练习例：已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),
D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，
再将所得图形绕原点逆时针旋转90度，
求连续两次变换所对应的变换矩阵M;解：关于x轴的反射变换矩阵A=绕原点逆时针旋转90度的变换矩阵B=则 M=BA=补充例题先将梯形绕原点逆时针旋转90度，再将所得图形作关于x轴的反射变换,求连续两次变换所对应的变换矩阵M变式训练例题讲解复合变换的概念；矩阵乘法的法则小结作业设计课本35页：1、2课件9张PPT。复合变换与矩阵的乘法（二）复习回顾一、线性变换的复合复习回顾二、二阶矩阵的乘法 ,B=巩固练习例题讲解例题讲解巩固练习巩固练习复合变换的概念；矩阵乘法的法则小结作业设计课本36页：3、5课件17张PPT。几种常见的平面变换2 -----投影、切变变换再回首想一想：上节课主要学习了哪些知识？线性变换二阶矩阵几类特殊线性变换及其二阶矩阵：概念讲解4、投影变换例3:如图，在直角坐标系xOy中,过任意点P(x,y)做x轴的垂线，垂足为P’，我们称P’为点P在x轴上的（正）投影,如果一个变换把直角坐标系内的每一点变成它在x轴上的（正）投影，那么称这个变换为关于x轴的（正）投影变换。
写出该变换公式及变换矩阵例题解析P(x,y)P’(x,0)变式1：求关于y轴的投影变换矩阵变式2：求关于y=x的投影变换矩阵概念讲解5、切变变换变式1：求平行于y轴的切变变换矩阵概念讲解（二）变换、矩阵的相等（课本8-9页）概念讲解（二）变换、矩阵的相等（课本8-9页）例题解析一展身手1.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶
矩阵为 ，求点A 在该变换作用下的像A1.2.在平面直角坐标系中，点A在矩阵 对应的线性变换作用下的像点A1 ，求点A的坐标.能力提高 平面内的一种线性变换使抛物线y＝x2的焦点变为直线y＝x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是_____________.求圆C：在矩阵作用下变换所得的曲线.反思：两个几何图形有何特点？知识拓展变式训练1： 二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 )
分别变换成(5,7)与(-3,6) （1）求矩阵M （2）求直线 在此变换下所变成的的解析式. 直线变式训练2变式3 能否构造一个线性变换，使得椭圆
在该变换下变成 ？ 巩固练习课本第10页习题1.1第3题课本第10页习题1.1第5、6题；作业例1：在直角坐标系内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变化。
（1）求点在这个旋转变化作用下的像；
（2）写出这个旋转变化的表达式.
事实上，在平面直角坐标系内，很多几何变化都具有下列形式，其中系数均为常数，我们把这种几何变换叫做线性变换。
线性变化公式可以由唯一确定，我们称为二阶矩阵，数为矩阵的元素常用大写字母表示。
为零矩阵，称为二阶单位矩阵，记为
设直线是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点作直线的垂线，垂足为，则称点为点在直线上的投影。
将平面上一点变成它在直线上的投影，这变换称为关于直线的投影变换。
如图，在平面直角坐标系内，将任意一点沿着与轴平行的方向平移个单位变成点，其中是非零常数，称这类变换为平行于轴的切变变换。
求出平行于轴的切变变换公式和变换矩阵
一般地，设是同一个直角坐标平面内的两个线性变换，如果对平面内的任意一点，都有，则称这两个线性变换相等，简记。
设所对应的二阶矩阵分别为
例4：设且，求。
向量，点
向量是一对有序实数组，叫做它的两个分量。我们把叫做列向量，相应的叫做行向量，在本专题中，规定所有的向量写成列向量的形式。
变成了新的向量
旋转角为的旋转变换公式为
设，规定二阶矩阵与向量的乘积为向量，记为或，即对于应注意
①二阶矩阵与向量的乘积仍为向量；
②乘积的第一个分向量为的第一行的元素与的对应位置元素乘积的和；
乘积的第二个分向量为的第二行的元素与的对应位置元素乘积的和；
例1：设，求
例2：设矩阵，求点在所对应的线性变换的作用下的像的坐标.
2、设矩阵，求点在所对应的线性变换的作用下的像的坐标.
变式：
设向量，规定实数与向量的乘积为；
设向量，规定与的和为.
性质1：设是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则
设是一个二阶矩阵，由矩阵与平面向量乘积的性质可得：
上述等式的右端表示以为邻边的平行四边形区域，所以，矩阵所对应的线性变换把单位正方形区域变成以为邻边的平行四边形区域，
因此，我们只需要考察单位向量在线性变换作用下的结果，就能得到单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形
在直角坐标系内，由矩阵确定的变换是旋转变换，由矩阵确定的变换是切变变换
（1）求向量先经过旋转变换作用，在经过切变变换作用的结果；
（2）把任意一个向量先经过旋转变换作用，再经过切变变换作用，最终变成向量，求向量。
一般地，设，它们所对应线性变换分别为.
对平面上任意一个向量依次作变换和，其作用效果为：
这也是一个线性变换，我们称它为变换和的复合变换，记为，从而对任意向量有：
上述复合变换对应的矩阵为，称这个矩阵为矩阵和的乘积，记为，即
一般地，设，它们所对应线性变换分别为.
复合变换对应的矩阵为矩阵与的乘积，
的次序与对应的复合变换的复合次序相同，因此，
例3计算
（1） （2）
例4：在直角坐标系中，切变变换对应的矩阵为，切变变换对应的矩阵为，变换将向量变成向量，求及
思考：你能用矩阵的乘积证明下面的等式吗？？
注意：在进行线性变换复合时，表示先进行变换，再进行变换，
（对应，对应）
例5：在直角坐标系中，把矩阵确定的压缩变换与矩阵确定的旋转变换进行复合，得到复合变换.
（1）求向量在复合变换作用下的像；
（2）求复合变换的坐标变换公式；
（3）复合变换把单位正方形区域变成了什么图形？？
二、矩阵乘法的性质：
我们知道，实数的乘法运算满足一定的运算律，即对于实数，满足结合律：；交换律：；消去律：设，如果，那么；
类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否也满足某些运算律？
已知矩阵，计算和
设是任意的三个二阶矩阵，则，
设是二阶矩阵，是任意自然数，规定：
称为的次方幂，对于的次方幂，具有如下性质：
，其中是任意实数.
例 设，求.
设是任意的二阶矩阵，求.
课件17张PPT。几类特殊的线性变换1 ----旋转,反射，伸缩变换 1、旋转变换P’(x’，y’)叫P(x，y)在此旋转变化作用下的像
思考：如何用P(x，y) 表示P’(x’，y’)？ 先从简单的开始，若旋转角度 ,P和P’有什么关系？例题解析概念讲解探究：旋转变换公式 在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转 角的旋转变换（通常记为 ）对应的二阶矩阵为_________.讲练习册P2考点一2、反射变换2、反射变换y=xy=-x3、伸缩变换例2在直角坐标系xOy内，将每一点的横坐标变为原来的一半,纵坐标变为原来的2倍,试确定该变换的变换公式和对应的矩阵.探究 在直角坐标系xOy内，直线 过原点，倾斜角为 . 你能求出关于直线 的反射变换的坐标变换公式吗？练习：写出直角坐标上任意一点关于原点O的
反射变换对应的二阶矩阵为一展身手1.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶
矩阵为 ，求点A 在该变换作用下的像A1.2.在平面直角坐标系中，点A在矩阵 对应的线性变换作用下的像点A1 ，求点A的坐标.能力提高 平面内的一种线性变换使抛物线y＝x2的焦点变为直线y＝x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是_____________.求圆C：在矩阵作用下变换所得的曲线.反思：两个几何图形有何特点？知识拓展变式训练1： 二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 )
分别变换成(5,7)与(-3,6) （1）求矩阵M （2）求直线 在此变换下所变成的的解析式. 直线变式训练2再回首想一想：本节课主要学习了哪些知识？线性变换二阶矩阵几类特殊线性变换及其二阶矩阵：1.课本第10页习题1.1第1、2题；作业选修4－2矩阵与变换 复习与小结
编写人： 编号：014
学习目标
系统理解掌握矩阵与变换的相关内容，并能初步应用。
学习过程：
一、预习：
系统复习本章的内容。
二、课后巩固：
1、表示x轴的反射变换的矩阵是( )
A. B. C. D.
2.平面上任意一点在矩阵的作用下( )
A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到倍
C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到倍
3．向量(左)乘向量的法则是( )
A. B.
C. D.
4. 变换的几何意义为( )
A.关于y轴反射变换 B. 关于x轴反射变换
C. 关于原点反射变换 D.以上都不对
5．点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是( )
A. B. C. D.
6．结果是( )
A. B. C. D.
7．关于矩阵乘法下列说法中正确的是( )
A.不满足交换律,但满足消去律 B.不满足交换律和消去律
C.满足交换律不满足消去律 D.满足交换律和消去律
8．( )
A. B. C. D.
9．矩阵的逆矩阵是( )
A. B. C. D.
10．下列说法中错误的是( )
A.反射变换,伸压变换,切变都是初等变换 B.若M,N互为逆矩阵,则MN=I
C.任何矩阵都有逆矩阵 D.反射变换矩阵都是自己的逆矩阵
11、给出下列命题：（1）矩阵中的每一个数字都不能相等；（2）二阶单位矩阵对应的行列式的值为1；（3）矩阵的逆矩阵不能和原矩阵相等。其中正确的命题有 个。
12、在矩阵变换下，点A（2，1）将会转换成 。
13、若，则
14、矩阵的特征值是 。
15、试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
（1） 方程为；
（2） 点A（2，5）；
（3） 曲线方程为。
16、已知矩阵，定义其转置矩阵如下：
若，写出A的转置矩阵，并求行列式和，两者有什么关系？
若表示的方程组为，请写出表示的方程组
课件24张PPT。特征值与特征向量复习回顾例题回顾判断下列二阶矩阵是否可逆？
若可逆求出逆矩阵复习回顾复习回顾新课引入新课讲解1、特征值与特征向量探究：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？新课讲解1、特征值与特征向量新课讲解新课讲解1、特征值与特征向量新课讲解概念解析通过上面的例子我们看到，在一个线性变换的作用下，平面内的确有一些向量具有“不变性”-----变成了与自身共线的向量，即变成了原来向量的某个倍数，如果这些向量是非零向量，我们称之为该线性变换的矩阵的特征向量。概念解析概念解析概念解析概念解析概念解析概念解析一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线概念解析探究：是否每个矩阵都有特征向量？2、特征值与特征向量的计算探究：给定一个二阶矩阵，能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量呢？2、特征值与特征向量的计算2、特征值与特征向量的计算求特征值、特征向量的简要步骤：特征值与特征向量的概念；
特征多项式的概念；
求矩阵的特征值与对应的特征向量小结作业设计课本70页3、4课件16张PPT。特征向量的应用复习回顾求特征值、特征向量的简要步骤：新课引入新课引入用数学归纳法证明任意向量都可以用特征向量来表示。例题讲解例题讲解复习回顾复习回顾2、特征向量在实际问题中的应用阅读课本73—74页矩阵与变换的考点：1、求点的像、向量的项、曲线的项2、求矩阵3、矩阵的乘法4、判断矩阵是否可逆，求逆矩阵5、求矩阵的特征值、特征向量2、特征向量在实际问题中的应用小结作业设计课本76页1、2课件13张PPT。矩阵乘法的性质新课引入新课讲解一、考察矩阵的乘法是否满足交换律：结论：矩阵的乘法不满足交换律，即：新课讲解二、考察矩阵的乘法是否满足结合律：结论：矩阵的乘法满足结合律，即：新课讲解课本38页 性质（结合律）：例题解析新课讲解三、考察矩阵的乘法是否满足消去律：结论：矩阵的乘法不满足消去律，即：新课讲解四、考察单位矩阵的作用：结论：单位矩阵类比与实数乘法中1的作用：巩固练习课本41-42页 2、5补充回顾练习1、甲组有5名男同学，3名女同学；
乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，
则选出的4人中恰有1名女同学的
不同选法共有 种补充回顾练习2、将4名大学生分配到3个乡镇去
当村官，每个乡镇至少一名，
则不同的分配方案有 种
（用数字作答）．补充回顾练习矩阵乘法的运算律小结作业设计完成练习册在实数的乘法运算中，如果，我们称互为倒数。
本讲中，我们将恒等变换对应的单位矩阵作为1的类比对象，研究逆变换与逆矩阵
探究（课本43页）：
对于一个线性变换，是否存在一个线性变换，使得？对于一个二阶矩阵，是否存在一个二阶矩阵，使得？
例1：旋转变换把直角坐标系内的任意一个向量沿逆时针方向绕原点旋转，设，如果再进行一次变换即把直角坐标系内的任意一个向量沿顺时针方向绕原点旋转，这样在的作用下又变回到，即，类似的有，综上所述，对旋转变换，我们找到了一个变换，使得，即对于二阶矩阵，存在一个二阶矩阵，
有
例2：切变变换把直角坐标系内的任意一个向量变成，再对进行一次变换，则变回到，因此
即对于二阶矩阵，存在一个二阶矩阵，
有
一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得，则称变换可逆，并且称是的逆变换。
用矩阵语言表述为：
设是一个二阶矩阵，如果存在一个二阶矩阵，使得，
则称可逆，或称是可逆矩阵，并且称是的逆矩阵
一般地，设是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，的逆矩阵就是的逆变换所对应的矩阵。
对于二阶矩阵，找不到二阶矩阵，使得，即不可逆
对于旋转变换我们知道，
设是变换的任意一个变换，则，
对任意一个向量，我们有：
因此，，即旋转变换的逆变换唯一。
即对应矩阵的逆矩阵唯一。
设是一个二阶矩阵，如果是可逆的，则的逆矩阵唯一
我们把的逆矩阵记为，读作的逆矩阵或的逆，
从而
设是两个可逆的线性变换，那么它们的复合变换仍可逆吗？？
性质2：设是二阶矩阵，如果都可逆，
则也可逆，且
二、
探究：我们知道，二阶矩阵不一定可逆，对任意给定的二阶矩阵，如何判别它是否可逆？若可逆，如何求其逆矩阵？？
例1：设，问是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵.
例2：设，问是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵.
对于一般的二阶矩阵，是否也有类似的结论？即是否有：
当时，可逆；
当时，不可逆；
如果矩阵是可逆的，则.
表达式称为二阶行列式，记作，
即：.
也称为二阶矩阵的行列式，记为或
定理：二阶矩阵可逆，当且仅当.
当矩阵可逆时，
例3：计算下列二阶行列式：
（1）； （2）.
例4：判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵.
（1）； （2）.
思考：二阶矩阵与二阶行列式的主要区别是什么？
1、计算下列行列式：
（1）； （2）；
2、判别下列二阶矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵：
（1）； （2）； （3）；
3、求适合下列式子的未知二阶矩阵
（1）
三、在初中，我们从解析几何的角度解释过二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解可以看作是直角坐标系内相应的两条直线交点的坐标，
现在我们学习了线性变换，线性变换的表达式的形式与二元一次方程组的形式有很多相似之处，能否从线性变换的角度来解释它呢？
本节中，我们将从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，并利用逆矩阵解一类特殊的二元一次方程组。
把一元二次方程组写成向量的形式为
根据矩阵与向量乘法的定义，可以把方程写成
对于一般的一元二次方程组……①可写成向量形式为，
根据矩阵与向量乘法的定义，可以把方程写成……②
其中矩阵是把二元一次方程组①中未知数的系数按原来的顺序写出来得到的，所以称之为二元一次方程组①的系数矩阵，②式称为二元一次方程组①的矩阵形式。
探究：二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换，你能从线性变换的角度揭示解一元二次方程组的意义吗？？
对于二元一次方程组，它的系数矩阵对应的线性变换为，解一元二次方程组可以表述为：已知线性变换和平面上的一个确定的向量，求平面上的的向量，使得该向量在线性变换的作用下变成已知向量，即求的原像。
有时我们也把一元二次方程组的解写成向量的形式，称这种形式的解为二元一次方程组的解向量。
2、逆矩阵与二元一次方程组
探究：因为二元一次方程组可写成矩阵形式，如果二元一次方程组的系数矩阵可逆，能利用逆矩阵来解方程组吗？
先从特殊例子探究，一元二次方程组的系数矩阵是可逆的，从线性变换的角度看，解方程组就是找出向量使得它在旋转变换的作用下的像为向量，也就是说，把向量按逆时针方向绕原点旋转后得到向量，即要求向量只需将向量按顺时针方向绕原点旋转后得到，即；
因此，二元一次方程组一定有解，求解步骤为：写成矩阵形式，两边同乘以系数矩阵的逆矩阵得：，即：
定理：如果关于变量的二元一次方程组（线性方程组）的系数矩阵可逆，那么该方程组有唯一解：
推论：关于如果关于变量的二元一次方程组其中是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式（即系数矩阵不可逆）
例：用逆矩阵解二元一次方程组
思考：如果关于变量的二元一次方程组的系数矩阵不可逆，那么它的解的情况如何？？
1、用逆矩阵的方法解二元一次方程组：
（1） （2）
3、实数为何值时，二元一次方程组
一、求矩阵的逆矩阵的步骤：
1、求矩阵的行列式
2、若，则不可逆，无逆矩阵。
若，则可逆，
在前面的学习中，我们看到，单位正方形区域在平行于轴的切变变换作用下，其位置、形状和大小都发生了改变，但其中的线段并没有发生变化，是“不变量”。在许多数学问题中，经常需要研究“不变量”，本讲中，我们研究线性变换的一种重要的不变量----矩阵的特征向量，并应用特征向量的性质解决一类实际问题。
一、变换的不变量-----矩阵的特征向量
1、特征值与特征向量
探究：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？
我们先从简单的线性变换开始：
例1：对于关于轴的反射变换，从几何直观上可以发现，只有轴和平行于轴的直线在反射变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变换。因此，反射变换只把形如和的向量，分别变换成与自身共线的向量，可以发现，反射变换分别把向量和变成和，特别地，反射变换把向量变成，把向量变成，用矩阵的形式可表示为：……①
例2：对于伸缩变换，从几何直观上可以发现，只有轴和平行于轴的直线在伸缩变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变换。因此，伸缩变换只把形如和的向量，分别变换成与自身共线的向量，可以发现，伸缩变换分别把向量和变成和，特别地，伸缩变换把向量变成，把向量变成，用矩阵的形式可表示为：……②
通过上面的例子我们看到，在一个线性变换的作用下，平面内的确有一些向量具有“不变性”-----变成了与自身共线的向量，即变成了原来向量的某个倍数，如果这些向量是非零向量，我们称之为该线性变换的矩阵的特征向量。
定义：设矩阵，如果存在实数以及非零向量，使得，则称是矩阵的一个特征值，是矩阵的属于特征值的一个特征向量。
记矩阵对应的线性变换为，从线性变换上看，“是矩阵的属于特征值的一个特征向量”即为，由于向量与是共线的，因此，从几何直观上看，等式表示线性变换把特征向量变成了共线的向量，当时，所得向量与特征向量方向相同；当时，所得向量与特征向量方向相反，当时，所得向量为零向量。
在例1中，由……①可知，是矩阵的两个特征值，， 是矩阵的分别属于特征值的一个特征向量。
在例2中，由……②可知是矩阵的两个特征值，， 是矩阵的分别属于特征值的一个特征向量。
可以进一步看出，在例1中，对任意的非零常数，所有形如的向量都是矩阵属于特征值的特征向量；
所有形如的向量都是矩阵属于特征值的特征向量；
因此，矩阵属于特征值的特征向量都有无穷多个。
思考：例2中，矩阵的分别属于特征值的特征向量也都有无穷多个吗？
一般地，设是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数，也是矩阵的属于特征值的特征向量
证明：若是非零常数，则，由于
所以, 是矩阵的属于特征值的特征向量。
上述结论表示，如果是矩阵的属于特征值的一个特征向量，那么与共线的所有非零向量都是矩阵的属于这个特征值的特征向量。
另外，从例1中可以发现，矩阵的属于两个不同的特征值的特征向量，不共线，例2也有类似的结论。
一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线
探究：是否每个矩阵都有特征向量？
例3：试从几何直观上，利用线性变换求矩阵的特征值与特征向量。
2、特征值与特征向量的计算
探究：给定一个二阶矩阵，能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量呢？
例4：设，求的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
思考：你能求出矩阵的分别属于特征值的所有特征向量吗？
一般地，对二阶矩阵，可采用与例4类似的方法求特征值以及特征向量
步骤：1、设数和非零向量满足，
得到齐次线性方程组…①需有非零解；
2、计算解出；
3、将分别带入原方程组，分别解出一个对应的特征向量
求特征值、特征向量的简要步骤：
1、写出矩阵的特征多项式：
2、令解出特征值；
3、将分别带入线性方程组，
分别解出一个对应的特征向量
例5：设，求的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
特征向量在数学和实际问题中有着广泛的应用，许多实际问题都可归结为研究二阶矩阵的方幂乘以一个平面向量，不难想到，当方幂很大时，直接用矩阵的乘法、矩阵与向量的乘法进行计算将会非常麻烦，能否找到一种方法简化运算呢？本节将利用特征向量来研究这些问题。
1、的计算公式
探究：设是一个二阶矩阵，是任意一个平面向量，能否简捷地计算呢？进一步地，能否给出的计算公式呢？
取矩阵，与之相对应的是关于轴的反射变换，由上一节的讨论可知，的特征值为；，是分别属于特征值的特征向量，取向量分别为特征向量，，我们知道反射变换作用在这两个特征向量上，结果具有特别简单的形式：，，由此可以得到：
类似地，可以得到：：
设是一个二阶矩阵，是矩阵的属于特征值的任意一个特征向量，则
探究：对前面取的反射变换，若取为任意平面向量，能否给出即的表达式呢？
性质1：设是二阶矩阵的两个不同特征值，是矩阵的分别属于特征值的特征向量，对于任意的非零平面向量，设（其中为实数），则对任意的正整数，有.
1、设，若矩阵把直线：变换为另一直线：，
（1）求矩阵及；
（2）设向量，求，.
课件10张PPT。线性变换的基本性质(一)复习回顾--几种简单的线性变换复习回顾--二阶矩阵与与平面向量的乘法线性变换公式（或矩阵）可建立
原像与像的关系新课引入在平面几何的学习中我们直观地看出，经过轴对称变换、旋转变换等，平面上的直线变为直线，三角形变为三角形。一般地，在线性变换下，是否仍然有直线变为直线，三角形变为三角形呢？这就是本节要研究的线性变换的性质问题。本节我们将以二阶矩阵为工具研究线性变换的基本性质，并进一步研究线性变换对平面图形的作用。一、列向量的数乘、列向量的加法二、探究二阶矩阵与平面向量乘法的运算律线性变换等价于二阶矩阵与平面向量乘法，
研究线性变换的性质即先考虑二阶矩阵与平面向量乘法的运算律问题.1、课本15页探究结论：二、探究二阶矩阵与平面向量乘法的运算律2、课本16页探究结论：三、线性变换的基本性质1（2）（1）定理1：四、探究线性变换的基本性质2思考：点、线是构成平面图形的基本元素，由变换的概念可知，线性变换把平面上的点（或向量）变成点（或向量），那么线性变换把平面上的直线（或线段）变成什么图像呢？？？课本17—18页性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）
把平面上的直线变成直线（或一点）线性变换的两个基本性质;小结作业设计课本27--28页：1、3、课堂练习--课本27页2课件26张PPT。线性变换的基本性质（二）复习回顾--线性变换的基本性质性质1：性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）
把平面上的直线变成直线（或一点）思考：平面图形在线性变换作用下会变
成什么图形呢？？新课讲解--线性变换对单位正方形区域的作用根据向量加法的平行四边形法则，右图中的单位正方形区域可用向量形式表示为：新课讲解--线性变换对单位正方形区域的作用新课讲解--恒等变换对单位正方形区域的作用1、恒等变换把平面上任意一点变成它本身的几何变换称为恒等变换I，容易看出，恒等变换保持平面上的每一点的位置不变。恒等变换I对应的坐标变换公式和矩阵分别为：新课讲解--恒等变换对单位正方形区域的作用1、恒等变换因为：新课讲解--旋转变换对单位正方形区域的作用2、旋转变换旋转变换 对应的坐标变换公式和矩阵分别为：新课讲解--旋转变换对单位正方形区域的作用2、旋转变换（1）当 时对应的坐标变换公式和矩阵为：新课讲解--旋转变换对单位正方形区域的作用2、旋转变换因为：新课讲解--旋转变换对单位正方形区域的作用2、旋转变换（2）当 时对应的坐标变换公式和矩阵为：新课讲解--旋转变换对单位正方形区域的作用2、旋转变换 因为：新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换（1）平行于x轴的切变变换坐标公式和矩阵为：新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换 令k=1,则变化公式为因为新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换 因为 令k= ,则变化公式为新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换（2）平行于y轴的切变变换坐标公式和矩阵为：新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换 令k=1,则变化公式为因为新课讲解--切变变换对单位正方形区域的作用3、切变变换 因为 令k= ,则变化公式为新课讲解--反射变换对单位正方形区域的作用4、反射变换（1）关于x轴的反射变换对应坐标公式和矩阵为：新课讲解--反射变换对单位正方形区域的作用4、反射变换因为：新课讲解--反射变换对单位正方形区域的作用4、反射变换（2）关于y轴的反射变换对应坐标公式和矩阵为：新课讲解--反射变换对单位正方形区域的作用4、反射变换因为：新课讲解--投影变换对单位正方形区域的作用5、投影变换（1）关于x轴的投影变换对应坐标公式和矩阵为：新课讲解--投影变换对单位正方形区域的作用5、投影变换因为：新课讲解--投影变换对单位正方形区域的作用5、投影变换（2）关于y轴的投影变换对应坐标公式和矩阵为：新课讲解--投影变换对单位正方形区域的作用5、投影变换因为：五种线性变换对单位正方形区域的作用小结作业设计课本28页：4、5、6课件18张PPT。逆变换与逆矩阵新课引入上一讲我们引进了复合变换以及矩阵的乘法，并研究了矩阵乘法的一些性质，结合矩阵的乘法，是否还可以研究矩阵的其他性质呢？？新课讲解我们先从一些特殊的线性变换来
探究此问题。新课讲解新课讲解思考：对于一般的旋转变换是否也有类似的结论呢？新课讲解新课讲解对于另外一类切变变换、伸缩变换和反射变换等线性变换，能否找到一个线性变换，使得它们的复合变换是恒等变换呢？？概念解析回顾例1、例2概念解析思考：是否每个二阶矩阵都可逆呢？投影变换不可逆对于下列给出的线性变换，是可逆变换的是例题1、 用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.例题2、结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的矩阵。逆矩阵的性质探究（课本47页）如果一个线性变换是可逆的，那么它的逆变换是唯一的吗？？
如果一个矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵唯一吗？？举例说明性质1：证明过程探究（课本48页）举例说明证明过程例题3、逆变换和逆矩阵的概念小结作业设计课本50页1、2课件19张PPT。逆矩阵与 二元一次方程组复习回顾1、求行列式的值：2、判断矩阵A是否可逆：复习回顾3、求矩阵A的逆矩阵新课引入在初中，我们从解析几何的角度解释过二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解可以看作是直角坐标系内相应的两条直线交点的坐标，现在我们学习了线性变换，线性变换的表达式的形式与二元一次方程组的形式有很多相似之处，能否从线性变换的角度来解释它呢本节中，我们将从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，并利用逆矩阵解一类特殊的二元一次方程组。新课讲解1、二元一次方程组的矩阵形式新课讲解1、二元一次方程组的矩阵形式新课讲解探究：二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换，你能从线性变换的角度揭示解一元二次方程组的意义吗？？1、二元一次方程组的矩阵形式新课讲解1、二元一次方程组的矩阵形式新课讲解1、二元一次方程组的矩阵形式新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组探究：因为二元一次方程组可写成矩阵形式，如果二元一次方程组的系数矩阵可逆，能利用逆矩阵来解方程组吗？新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组新课讲解2、逆矩阵与二元一次方程组齐次方程组例题讲解无解或无穷个解课堂练习课堂练习二元一次方程组的矩阵形式；
利用逆矩阵求解二元一次方程组；
判断线性方程组和齐次方程组解的情况小结作业设计课本61页2、3
