2022—2023学年华东师大版九年级数学下册 27.4 正多边形和圆同步练习　（含解析）

华师大版九下 27.4 正多边形和圆
一、选择题（共11小题）
1. 如图，点 ，， 在 上，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
2. 下列三角形：① 有两个角等于 ；② 有一个角等于 的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形．其中是等边三角形的有
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
3. 如图， 的内接多边形周长为 ， 的外切多边形周长为 ，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ．
A. B. C. D.
4. 如图，正六边形 内接于 ， 的半径为 ，则这个正六边形的边心距 和 的长分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 如图，正六边形螺帽的边长为 ，那么扳手的开口 最小应是
A. B. C. D.
6. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为 的 六等分，依次得到 ，，，，， 六个分点；
②分别以点 ， 为圆心， 长为半径画弧， 是两弧的一个交点；
③连接 ．
问： 的长是多少
大臣给出的正确答案应是
A. B. C. D.
7. 【例 】已知圆内接正三角形的面积为 ，则边心距是
A. B. C. D.
8. 若 的内接正 边形的边长与 的半径相等，则 的值为
A. B. C. D.
9. 如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），则 的度数为
A. B. C. D.
10. 【测试 】如图，正八边形 内接于圆，点 是弧 上的任意一点，则 的度数为
A. B. C. D.
11. 如图，将矩形 绕点 顺时针旋转到矩形 的位置，旋转角为 ．若 ，则 的大小是
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题）
12. 如图，在边长为 的正六边形 中，点 在 上，则 的面积为 ．
13. 边长为 的正方形的外接圆的面积等于 ．
14. 若一个正六边形的周长为 ，则该六边形的面积为 ．
15. 如图，正六边形 内接于 ，若 的面积是 ，则正六边形 的面积是 ．
16. 下面有 个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 ；③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有 （填序号）．
17. 如图，正六边形 内接于 ， 的半径为 ，若将 边绕点 旋转一周，则 边扫过的面积为 ．
18. 将边长为 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于 ．
19. 已知 内接于 ，最长边 是 的内接正六边形的一边， 是 内接正八边形的一边，那么 是 的内接正 边形的边．
三、解答题（共6小题）
20. 如图，， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，且 ， 是 的中点．求证：．
21. 已知正 边形的一个外角与一个内角之比为 ，求 的值．
22. 如图，，，，且 ，， 三点共线，试比较 和 的大小．
23. 如图，已知正三角形的外接圆的半径为 厘米，求它的边长、边心距、周长和面积．
24. 如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距．
25. 如图，正三角形 内接于 ， 是 的内接正十二边形的一边，连接 ，若 ，求 的半径．
答案
一 选择题
1. A
【解析】 如图，，
．
2. D
3. C
【解析】圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
所以圆周长在 与 之间．
，，
，
圆周长最接近的是 ．
4. D
【解析】如图所示，连接 ，，
多边形 是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
的长 ．
5. A
6. D
7. B
【解析】设正三角形的边心距为 ，则其半径为 ，边长为 ，
圆内接正三角形的面积为 ，
，解得：．
该圆的内接正三角形的边心距为 ．
故选：B．
8. C
【解析】 的半径与这个正 边形的边长相等，
这个多边形的中心角 ，
，
．
9. B
10. D
【解析】连接 ，，，如图所示：
八边形 是正八边形，
，
，
．
11. D
【解析】 四边形 为矩形，
，
矩形 绕点 顺时针旋转到矩形 的位置，旋转角为 ，
，，，
，
而 ，
，
，
即 ．
二 填空题
12.
【解析】如图，连接 ，，过点 作 于 ．
因为六边形 是正六边形，
所以 ，，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
13.
14.
【解析】如图，连接 ，，过 作 于 ．
，
，
是等边三角形，
正六边形 的周长为 ，
，
，
，
，
，
该六边形的面积为：．
15.
【解析】 六边形 是正六边形，
，，，
，，
，，
为直径，，
是等边三角形，
的面积是 ，
的面积 的面积 ，
正六边形 的面积 的面积 ．
16. ②③
【解析】①过不在同一直线上的三点可以画一个圆，本说法错误；
②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 ；
设圆的半径为 ，在正方形 中，连接 ，
，
为直径，
，
，
在正三角形 中，作 于 ，连接 ，
则 ，，
，
，
，
本说法正确；
③三角形的内心到三角形的三边距离相等，本说法正确；
④能够互相重合的弧是等弧，本说法错误，
故答案为：②③．
17.
【解析】如图，连接 ，，作 于 ，
易知 是等边三角形，，，
边扫过的面积为 ．
18.
19. 二十四
【解析】由于 为最长边，所以不考虑 这种情况，而且此时边数 不为整数．
三 解答题
20. ，
．
是 的中点，
．
，即 ．
．
21. ．
22. 设 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
在 和 中，
，，，
所以 ，
所以 ．
23. 边长为 厘米，边心距为 厘米，周长为 厘米，面积为 平方厘米．
24. 如图，
设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，．
．
．
设 ，则 ．
在 中，，
即 ．
解得 （负值已舍去）．
，．
等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ．
25. 连接 ，，，
为 的内接正十二边形的一边，
，
为 的内接正三角形的一边，
，
，
又 ，
，
故 的半径为 ．