4.2.2 等差数列的前n项和公式(3)同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.2.2 等差数列的前n项和公式(3)同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 93.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-07 07:11:08 | ||
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文档简介
《第二节 等差数列》同步练习
（课时2 等差数列的前n项和公式(3)）
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,),Q(n+2,)(n∈N*)的直线的斜率为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )
A.10 B.15 C.20 D.40
3.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{an}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n项和为Sn,则Sn的最大值为( )
A.66 B.72 C.132 D.198
4.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且,则( )
A.a3+a8=2b3
B.当Sn=2n2时,bn=6n+2
C.<2
D. n∈N*,使得Tn>0
5.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 021>0,S2 022<0,则( )
A.数列{an}是递增数列
B.|a1 012|>|a1 011|
C.当Sn取得最大值时,n=1 011
D.S1 0126.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢 ( )
A.4日 B.3日 C.5日 D.6日
7.如果有穷数列a1,a2,…,an(n∈N*)满足ai=an-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{an}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中ak,ak+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{an}的各项之和为S2k-1,则S2k-1的最大值为( )
A.622 B.624 C.626 D.628
8.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则( )
A.S5=35
B.an+1-an=n
C.Sn-Sn-1=,n≥2
D.+…+
二、非选择题
9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A,B,D,E均为小正方形的顶点,在线段DE上有2 020个不同的点P1,P2,…,P2 020,且它们等分DE.记Mi=·(i=1,2,…,2 020).则M1+M2+…+M2 020的值为 .
10.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,则{an}的通项公式an= ;若数列{bn}满足bn=an-30,其前n项和为Tn,则Tn的最小值为 .
11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,已知a2=4,S4=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
12.[2022河北唐山一中高二上月考]记Sn是等差数列{an}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.
(1)求数列{an}的通项公式,并求Sn的最小值;
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题
1.C 设d为数列{an}的公差,则{}是公差为的等差数列.
2.C 由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4==20.
3.A 因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以an=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,Sn取得最大值,最大值为S11=S12==66.
4.AB 由,知=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得>2,故C错误;当Sn=2n2时,有S2n=8n2,则Tn=n(3n+5),易得bn=6n+2,故B正确;当Sn=-2n2时,有S2n=-8n2,则Tn=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得Tn>0,故D错误.
5.BC 因为S2 021==2 021a1 011>0,S2 022==1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{an}是递减数列,且当n=1 011时,Sn取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.
6.A 记良马第n日行程为an,驽马第n日行程为bn,则由题意知数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.因为数列{an}的前n项和为,数列{bn}的前n项和为,所以=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.
7.C 易知ak+ak+1+…+a2k-1=50k+=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+ak+ak+1+…+a2k-1=2(ak+ak+1+…+a2k-1)-ak=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.
8.ACD 因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,an-an-1=n,以上n个式子相加可得an=1+2+3+…+n=,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知an+1-an=n+1,故B不正确;当n≥2时,Sn-Sn-1=an=,故C正确;因为=2(),所以+…+=2[(1-)+()+…+()]=2(1-)=,故D正确.故选ACD.
二、非选择题
9.14 140 解析如图,设C为DE的中点,则AC=.因为P1,P2,…,P2 020等分DE,所以=2.又M1+M2+…+M2 020=·(+…+),令S=M1+M2+…+M2 020,则2S=·(+…+)+·(+…+)=·[()+()+…+()]=(2×2 020)·=4 040×=28 280,所以S=14 140.
10.4n-2 -225 解析因为2an+1=an+an+2,所以an+1-an=an+2-an+1,故数列{an}为等差数列.设数列{an}的公差为d.由a3=10,S6=72,得解得所以an=4n-2,所以bn=an-30=2n-31.令即解得≤n≤.因为n∈N*,所以数列{bn}的前15项均为负值且第16项为正值,所以T15最小.因为数列{bn}的首项为-29,公差为2,所以T15==-225,所以数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-225.
11.(1)设首项为a1,公差为d,由题意知
解得故an=2n.
(2)由(1)得bn=(-1)n·an=(-1)n·2n.
当n为偶数时,Tn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]=·2=n;
当n为奇数时,Tn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-2)+2(n-1)]-2n=(n-1)-2n=-n-1,
所以Tn=
12.(1)设{an}的公差为d,
则解得
所以an=-15+4(n-1)=4n-19.
由an=4n-19≥0,得n≥,
所以当n=1,2,3,4时,an<0,
当n≥5时,an>0,
所以Sn的最小值为S4=4a1+d=-36.
(2)由(1)知,当n≤4时,bn=|an|=-an;
当n≥5时,bn=|an|=an.
又Sn=na1+d=2n2-17n,
所以当n≤4时,Tn=-Sn=17n-2n2,
当n≥5时,Tn=Sn-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,
即Tn=
（课时2 等差数列的前n项和公式(3)）
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,),Q(n+2,)(n∈N*)的直线的斜率为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )
A.10 B.15 C.20 D.40
3.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{an}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n项和为Sn,则Sn的最大值为( )
A.66 B.72 C.132 D.198
4.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且,则( )
A.a3+a8=2b3
B.当Sn=2n2时,bn=6n+2
C.<2
D. n∈N*,使得Tn>0
5.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 021>0,S2 022<0,则( )
A.数列{an}是递增数列
B.|a1 012|>|a1 011|
C.当Sn取得最大值时,n=1 011
D.S1 012
A.4日 B.3日 C.5日 D.6日
7.如果有穷数列a1,a2,…,an(n∈N*)满足ai=an-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{an}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中ak,ak+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{an}的各项之和为S2k-1,则S2k-1的最大值为( )
A.622 B.624 C.626 D.628
8.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则( )
A.S5=35
B.an+1-an=n
C.Sn-Sn-1=,n≥2
D.+…+
二、非选择题
9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A,B,D,E均为小正方形的顶点,在线段DE上有2 020个不同的点P1,P2,…,P2 020,且它们等分DE.记Mi=·(i=1,2,…,2 020).则M1+M2+…+M2 020的值为 .
10.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,则{an}的通项公式an= ;若数列{bn}满足bn=an-30,其前n项和为Tn,则Tn的最小值为 .
11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,已知a2=4,S4=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
12.[2022河北唐山一中高二上月考]记Sn是等差数列{an}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.
(1)求数列{an}的通项公式,并求Sn的最小值;
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题
1.C 设d为数列{an}的公差,则{}是公差为的等差数列.
2.C 由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4==20.
3.A 因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以an=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,Sn取得最大值,最大值为S11=S12==66.
4.AB 由,知=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得>2,故C错误;当Sn=2n2时,有S2n=8n2,则Tn=n(3n+5),易得bn=6n+2,故B正确;当Sn=-2n2时,有S2n=-8n2,则Tn=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得Tn>0,故D错误.
5.BC 因为S2 021==2 021a1 011>0,S2 022==1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{an}是递减数列,且当n=1 011时,Sn取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.
6.A 记良马第n日行程为an,驽马第n日行程为bn,则由题意知数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.因为数列{an}的前n项和为,数列{bn}的前n项和为,所以=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.
7.C 易知ak+ak+1+…+a2k-1=50k+=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+ak+ak+1+…+a2k-1=2(ak+ak+1+…+a2k-1)-ak=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.
8.ACD 因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,an-an-1=n,以上n个式子相加可得an=1+2+3+…+n=,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知an+1-an=n+1,故B不正确;当n≥2时,Sn-Sn-1=an=,故C正确;因为=2(),所以+…+=2[(1-)+()+…+()]=2(1-)=,故D正确.故选ACD.
二、非选择题
9.14 140 解析如图,设C为DE的中点,则AC=.因为P1,P2,…,P2 020等分DE,所以=2.又M1+M2+…+M2 020=·(+…+),令S=M1+M2+…+M2 020,则2S=·(+…+)+·(+…+)=·[()+()+…+()]=(2×2 020)·=4 040×=28 280,所以S=14 140.
10.4n-2 -225 解析因为2an+1=an+an+2,所以an+1-an=an+2-an+1,故数列{an}为等差数列.设数列{an}的公差为d.由a3=10,S6=72,得解得所以an=4n-2,所以bn=an-30=2n-31.令即解得≤n≤.因为n∈N*,所以数列{bn}的前15项均为负值且第16项为正值,所以T15最小.因为数列{bn}的首项为-29,公差为2,所以T15==-225,所以数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-225.
11.(1)设首项为a1,公差为d,由题意知
解得故an=2n.
(2)由(1)得bn=(-1)n·an=(-1)n·2n.
当n为偶数时,Tn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]=·2=n;
当n为奇数时,Tn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-2)+2(n-1)]-2n=(n-1)-2n=-n-1,
所以Tn=
12.(1)设{an}的公差为d,
则解得
所以an=-15+4(n-1)=4n-19.
由an=4n-19≥0,得n≥,
所以当n=1,2,3,4时,an<0,
当n≥5时,an>0,
所以Sn的最小值为S4=4a1+d=-36.
(2)由(1)知,当n≤4时,bn=|an|=-an;
当n≥5时,bn=|an|=an.
又Sn=na1+d=2n2-17n,
所以当n≤4时,Tn=-Sn=17n-2n2,
当n≥5时,Tn=Sn-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,
即Tn=