4.2.2 等差数列的前n项和公式(1)同步练习(含解析)

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名称 4.2.2 等差数列的前n项和公式(1)同步练习(含解析)
格式 docx
文件大小 39.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-03-07 07:11:53

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文档简介

《第二节 等差数列》同步练习
(课时2 等差数列的前n项和公式(1))
一、基础巩固
知识点1 等差数列的前n项和
1.[2022安徽六安一中高二上期末]在等差数列{an}中,已知a4=3,a6=7,则数列{an}的前9项和S9为(  )
A.-11 B.13 C.45 D.117
2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6=(  )
A.16 B.24 C.36 D.48
3.(多选)[2022福建南平高二期末]设Sn为等差数列{an}的前n项和,且a4=5,S5=10,则(  )
A.an=2n-1 B.an=3n-7
C.Sn=n2-3n D.Sn=n2-n
4.[2022陕西安康高二期中]《算法统宗》是中国古代数学名著, 在这部著作中有一个数学问题为“九儿问甲歌”:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来争三岁,共年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公最年幼的儿子的岁数为(  )
A.11 B.13 C.14 D.16
5.[2022江苏常州高二期末]记Sn为等差数列{an}的前n项和,给出下列4个条件:①a1=1;②a4=4;③S3=9;④S5=25.若只有1个条件不成立,则该条件为(  )
A.① B.② C.③ D.④
6.[2022山西大学附中高二下诊断]已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10,最后6项和为110,所有项的和为360,则n=(  )
A.48 B.36 C.30 D.26
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=18,Sm=240,am-4=30,则m=    .
知识点2 an与Sn的关系
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n,则a8=(  )
A.72 B.36 C.18 D.16
9.[2022贵州贵阳一中高二月考]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n,则|an|的最小值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-10,a2=-9,Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2),若am=0,则m=(  )
A.8 B.9 C.10 D.11
11.[2022江苏连云港高二月考]数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2,当n≥2时,下列不等式成立的是(  )
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
12.已知在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足Sn=(an+2)2.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和Tn.
二、能力提升
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列为定值的是(  )
A.S17 B.S18 C.S15 D.S16
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2 020,则m的值为(  )
A.100 B.101 C.200 D.202
3.(多选)[2022黑龙江鹤岗市第一中学高二下期中]已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S9=S10A.d<0 B.a10=0 C.S18<0 D.S84.[2022广西贵港市高级中学高三模考]5G基站建设是新基建七大领域之一,截至2022年3月底,A地区已经累计建设5G基站300个,未来将进一步完善基础网络体系,加快推进5G网络建设.已知2022年4月该地区计划新建50个5G基站,以后每个月新建的5G基站比上一个月新建的多40个,预计A地区累计建设4 640个5G基站要到(  )
A.2023年6月底 B.2023年5月底
C.2023年4月底 D.2023年3月底
5.已知数列{an}满足an=2n-1,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列{bn}的前100项和为(  )
A.211 B.232 C.247 D.256
6.[2022江西南昌六校高二期末联考]设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则数列{bn}的通项公式为bn=    .
7.[2022吉林市第一中学校高二月考]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足anan+1=2Sn(n∈N*),则a2+a4+a6+…+a66=    .
8.若数列{an}是各项均为正数的数列,且+…+=n2+n,Sn是数列{}的前n项和,则Sn=    .
9.[2022河南洛阳高二期末]三角形数阵如图所示:
1
2  3
4  5  6
7  8  9  10
11 12 13 14  15
……
按照自上而下、自左而右的顺序,2 022位于第i行的第j列,则i+j=    .
10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=0,a7=7,若为数列{an}中的项,则m=    .
11.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn.数列{bn}为等差数列且满足b2=12,b5=30,再从①+an=2Sn,②a1=9,
a2=2,当n≥2时,an+1=an+2这两个条件中任选一个作为已知条件,求解下列问题:
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)若对任意n∈N*,不等式kSn≥bn恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.C S9==45.
2.D 设数列{an}的公差为d,则Sn=d,所以S4=2+6d=20,所以d=3,所以S6=3+15d=48.
3.BD 设{an}的公差为d,因为a4=5,S5=10,所以a1+3d=5,5a1+10d=10,解得a1=-4,d=3,故an=a1+(n-1)d=3n-7,Sn=na1+d=n2-n.故选BD.
4.A 按年龄从大到小排列,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则数列{an}为等差数列,公差d=-3,S9==9a5=207,解得a5=23,所以a9=a5+4d=23-12=11.
5.B 设等差数列{an}的公差为d.若①②同时成立,则d=1,此时S3=3a1+d=6,S5=5a1+d=15,③④均不成立,与题设矛盾,所以①②不同时成立,③④一定成立.由得a1=1,d=2,①成立,②不成立.故选B.
6.B 由题意知a1+a2+…+a6=10,an+an-1+…+an-5=110,两式相加得6(a1+an)=120,所以a1+an=20.又=360,所以n=36.
7.15 解析因为S9==9a5=18,所以a5=2.又Sm==240,所以m=15.
8.D 因为Sn=n2+n,所以a8=S8-S7=82+8-(72+7)=16.
9.A 因为Sn=n2-n,所以当n=1时,a1=-7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-10,又a1=-7适合上式,所以an=3n-10,所以当n=3时,|an|取得最小值1.
10.D 由Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2),得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+1(n≥2),即an+1-an=1(n≥2).因为a2-a1=1,符合上式,所以数列{an}是以-10为首项,1为公差的等差数列,则an=n-11.若am=0,则m=11.
11.C 方法一 由题知a1=S1=3-2=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2n2-[3(n-1)-2(n-1)2]=5-4n,又a1=1满足上式,故数列{an}的通项公式为an=5-4n. 故数列{an}是递减的等差数列,且公差等于-4,故当n≥2时,有a1>>an,再由Sn=,可得na1>Sn>nan.
方法二 由题知a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-4n+5.则当n≥2时,Sn-na1=(3n-2n2)-n=-2n(n-1)<0,所以Sn0,所以Sn>nan,即na1>Sn>nan.
12.(1)由Sn=(an+2)2,得Sn-1=(an-1+2)2(n≥2).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,
整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为an+an-1>0,
所以an-an-1=4,即数列{an}为等差数列.
(2)因为S1=(a1+2)2,
所以a1=(a1+2)2,解得a1=2.
所以an=2+4(n-1)=4n-2,
所以bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.
因为bn+1-bn=2,所以{bn}为等差数列.
又b1=-29,所以Tn==n2-30n.
二、能力提升
1.C 由等差数列的性质,得a5+a11=2a8,又a5+a8+a11为定值,所以a8为定值.因为S15==15a8,所以S15为定值.
2.B 由题意知,a1+am+a2+am-1=80,由等差数列的性质,可知a1+am=a2+am-1,故a1+am=40,Sm==20m=2 020,故m=101,故选B.
3.BC
A 因为S9=S10,所以a10=S10-S9=0.又S100.
B √
C √ 因为a10=0,d>0,所以a9<0,所以S18==9(a9+a10)=9a9<0.
D 因为a9<0,S9=S8+a9,所以S8>S9.
4.B 由题意得,2022年4月及之后该地区每个月新建的5G基站数量为等差数列,且公差为40.假设A地累计建设4 640个5G基站要经过k个月,则50k+·40=4 640-300,得k=14,所以预计A地区累计建设4 640个5G基站要到2023年5月底.
5.D 依题意,新的数列到an为止共有1+2+3+…+n=项,由于=91,即到a13共有91项,故数列{bn}的前100项的和为×13+×12+9=256,故选D.
6.2n-1 解析设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且=k(k∈R).又b1=1,所以n+d=k[2n+×2n(2n-1)d],即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以得所以数列{bn}的通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1.
7.1 122 解析anan+1=2Sn,则n≥2时,an-1an=2Sn-1,两式相减得(an+1-an-1)an=2an.因为an>0,所以an+1-an-1=2,所以数列{an}的偶数项成等差数列,公差为2.又a1a2=2S1=2a1,而a1>0,所以a2=2,则a66=2+32×2=66,所以a2+a4+…+a66==1 122.
8.2n2+2n 解析因为+…+=n2+n ①,所以当n≥2时,+…+=(n-1)2+(n-1)=n2-n ②,由①-②得=2n,即an=4n2,所以=4n(n≥2).当n=1时,=2,即a1=4,也满足=4n,所以=4(n+1)-4n=4,所以{}是以4为首项,4为公差的等差数列,所以Sn==2n2+2n.
9.70 解析由题图可知,第n行有n个数,前n行的数的个数为1+2+3+…+n=,因为=2 016,所以2 022位于第64行第6列,即i=64,j=6,所以i+j=70.
10.2 解析设等差数列{an}的公差为d.因为S6=0,所以6×=0,即a1+a6=0,即2a1+5d=0.因为a7=7,所以a1+6d=7.由解得则an=2n-7.又,令2m-3=t,则=t+-6.因为t为8的约数且是奇数,所以t的可能取值为±1.当t=1时,m=2,=3=2×5-7,是数列{an}中的第5项;当t=-1时,m=1,=-15=2×(-4)-7,不是数列{an}中的项.综上知m=2.
11.方案一 选条件①.
(1)由+an=2Sn,
得+an-1=2Sn-1(n≥2),
两式相减可得+an-an-1=2an,
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
又an>0,所以an-an-1-1=0,即an-an-1=1,
所以数列{an}为等差数列.
当n=1时,a1=1,
所以an=a1+(n-1)×1=n,
所以Sn=.
(2)因为数列{bn}为等差数列,b2=12,b5=30,
所以数列{bn}的公差d==6,
所以bn=b2+(n-2)×6=6n.
若对任意n∈N*,不等式kSn≥bn恒成立,
则k·≥6n,即k≥对任意n∈N*恒成立,
所以k≥6.
方案二 选条件②.
(1)因为当n≥2时,an+1=an+2,即an+1-an=2,
所以当n≥2时,数列{an}为等差数列,
又a2=2,所以当n≥2时,an=a2+(n-2)×2=2n-2,
所以an=
Sn=9+=n2-n+9.
(2)因为数列{bn}为等差数列,b2=12,b5=30,
所以数列{bn}的公差d==6,
所以bn=b2+(n-2)×6=6n.
若对任意n∈N*,不等式kSn≥bn恒成立,
则k≥对任意n∈N*恒成立.
因为n+-1≥2-1=5,当且仅当n=3时取等号,
所以≤,所以k≥.