6.2排列与组合 拔高练习（含解析）

排列组合拔高练习
一、单选题
1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
2．已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（ ）
A．515 B．896 C．1027 D．1792
3．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
5．已知递增正整数数列满足（），则（ ）
A． B．，，可能成等比数列
C． D．，，可能成等比数列
6．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲 乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从到达处的走法种数为20
B．甲从必须经过到达处的走法种数为9
C．甲乙两人能在处相遇的走法种数36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162
8．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.下列正确的是（ ）
A．男生成绩样本数据的平均数为
B．估计有的男生数学成绩在分以内
C．在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为
D．若男生成绩样本数据的方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为
三、填空题
9．给正方体的八个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，现有三种颜色可供选择，不同的涂色方法有________种．
10．有穷数列满足，且成等比数列. 若，则满足条件的不同数列的个数为_____．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有_____种
12．从1到10中随机选取6个数字排成一圈（可重复），则没有两个偶数相邻的概率为___________.
四、解答题
13．为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），参考数据：
14．对任意，定义+，其中为正整数.
（1）求的值；
（2）探究是否为定值，并证明你的结论；
（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
15．设，，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为,较小元素之和记为.
(1)当时,求,的值；
(2)求证:为任意的, ，为定值.
16．如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
参考答案：
1．D
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了排列知识的应用.
求解排列问题的六种主要方法:
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
2．C
【解析】（1）由于为整数且，下面对进行分类讨论:最小取2时，符合条件同理可得,,……，时符合条件的的个数，最后利用加法原理计算即得．
【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可在0,1,2中取,符合条件有的数有所以,同理
时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有
,且,是的最小值,即时,.
故选:.
【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.
3．C
【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.
【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.
故选：C
4．C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
5．C
【解析】用组合和数列的性质可逐项排除可得结果.
【详解】，
因为是递增正整数数列，所以，
而当时，，不是递增数列，所以，
易得，由于，则，
取，则，所以A错误；
时有，
若成等比数列，则，
所以，此时，所以B错误.
，
则，所以C正确；
，
，
当时，而，
则，所以D错误；
故选：C.
【点睛】本题考查了数列与组合数的综合，要求熟练掌握等比数列性质、组合数公式的性质.
6．A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，
所以所求的概率．
故选：A．
7．AB
【分析】由到的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.
【详解】A：从到达只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为种，正确；
B：从到的走法有，再到达的走法有，共有种，正确；
C：由上，甲经过的走法有9种，同理乙经过的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误；
D：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点，，，中的一个，而在、相遇各有1种走法，在，相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有种，错误.
故选：AB
8．BCD
【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式以及按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断.
【详解】对于选项A，根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数，故A错误；
对于选项B，根据频率分布直方图有，男生数学成绩在分以内的人数的频率为，所以估计有的男生数学成绩在分以内，故B正确；
对于选项C，根据频率分布直方图有，在和内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为，故C正确；
对于选项D，设女生成绩样本数据的平均数为，则总样本的平均数，所以总样本的方差为，故D正确.
故选：BCD.
9．114
【分析】先考虑两种颜色的情况，易得有6种方法；再考虑三种颜色的情况，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四种情况，对每个点的着色情况进行考虑，最终可得答案.
【详解】如下图所示的正方体，
①用两种颜色，和同色，则有种；
②用三种颜色，
若同色，则各有两种选色方法，故共有种；
若同色，与之不同色，注意又与不同色，故只有一种涂色，同理也只有一种涂色，而各有两种涂色方法，故共有种；
若同色，与之不同色，同理，共有种；
注意到颜色互不相同是不可能事件，否则无色可涂，故同色的情况讨论完毕.
若不同色，则各只有一种涂色方法，另外要么与同色，要么与同色，否则无色可涂，
若与同色，则有两种涂色，一种是与同色，则有两种涂色方法，只有一种涂色方法，共有种，一种是与不同色，则必与同色，否则无色可涂，此时，都只有一种涂色方法，共有种；
若与同色，与上述讨论的情况等价，同理可得共有种；
至此，所有情况讨论完毕，故共有种.
故答案为：114.
.
10．176
【分析】根据成等比数列，求得的可能取值，由此进行分类讨论，结合，判断出满足条件的不同数列的个数.
【详解】由于，所以或.由于成等比数列，所以，所以，故或.
当时，在中，都成立；在中，有个，个成立.故方法数有种.
当时，在中，有个成立，个成立，方法数有种；在中，有个，个成立，方法数有种.故方法数有种.
综上所述，满足条件的不同数列的个数为.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，考查组合数的计算，属于中档题.
11．67
【分析】根据特殊元素特殊处理的原则，以丙进行分类，排完丙后，由甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，还要进行分类，根据分类计数原理可得.
【详解】因为丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类：
第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有种，
共计种；
第二类，当丙不当物理课代表时，分四类：
①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有种种，
②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种，
③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有种，共计种，
④丙为化学课代表时，同③的选法一样有种，
根据分类计数原理得，不同的选法共有种.
故答案为：67.
12．
【分析】求出全部的基本事件数目以及没有两个偶数相邻的基本事件数目，由古典概型的公式计算即可
【详解】根据题意，6个位置随机从1-10取数，可重复，则每个位置有10种情况，所以共有个基本事件，若没有偶数相邻，分4种情况讨论
①取出的6个数都是奇数，因为共有5个奇数，所以每个位置有5种情况，共有个基本事件
②取出的6个数有一个偶数，则挑选一个偶数有5种情况，剩余的5个位置都是奇数，所以每个位置有5种情况，共个基本事件
③取出的6个数有两个偶数，偶数不相邻，共有个基本事件
④取出的6个数有三个偶数，则有三个奇数，必须间隔排列，奇数偶数都有5种情况，所以共有种情况
当偶数个数超过3个时，偶数一定会相邻，所以不符合要求
综上，符合要求的基本事件共有个
所以概率
故答案为：
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；
（2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；
（3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.
【详解】（1）依题意，得
，
所以抽取的200名学生的平均成绩.
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而，
故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.
14．(1) ,; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.
【分析】(1)由题意求出的值，即可求出的值.
(2)根据，，结合平方差公式即可求出的值.
(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，结合等差数列定义可得
，结合已知进行推导，可推出当且仅当时，等号成立，不成立，从而可证明.
【详解】解：(1)由题意知，，
，
所以，
(2)是定值，证明:由题意知，，，
则，
所以.
(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则，
当时，，即，即，因为，
所以，，
整理得，，其中为正整数，，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，
所以不存在存在正整数，使得成等差数列.
【点睛】关键点睛:
本题第二问应将看作，从而代入已知条件即可求解.
15．(1)；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）当时，写出集合的所有元素个数为2的子集，然后结合题意求解即可．（2）根据题意可得 ，从而 ，根据组合数的性质可得，故．再根据所有两元素集合的元素和为 ，进而得，故．
详解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为，，，
所以，．
（2）当，时，依题意，
则
．
所以.
又 ，
所以，
所以（定值）．
点睛：本题以集合为载体考查组合数的运算及应用，解题的关键是深刻理解的含义，然后根据集合的有关知识求解，在解题过程中注意组合数性质的运用．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；
（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；
（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.
【详解】（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
（2）设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着（不经过E），共有条最近路线；
③沿着（不经过E、G），共有条最近路线；
④沿着（不经过E、G、H），共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形.