6.4.3余弦定理 基础练习（含解析）

第六章6.4.3余弦定理基础练习-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，点分别在边上，且线段平分的面积，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．A，B是上两点，，则弦的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．不能确定
3．在中，，，，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．中点在边上且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，为中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
7．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知x，y，z均为正数，，，，则三元数组可以是以下（ ）
A． B． C． D．
10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为钝角三角形，则
C．若，则有两解
D．若三角形为斜三角形，则
11．下列四个选项中哪些是正确的（ ）
A．若，则
B．
C．在任意斜三角形中
D．在三角形中
12．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ）
A． B．向量，夹角的最小值为
C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为
三、填空题
13．已知中，，且，则的最大值为______.
14．在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则______.
15．已知，，是一个钝角三角形的三边长，则的取值范围是______.
16．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
参考答案：
1．B
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，再结合基本不等式可求.
【详解】设.
根据三角形面积公式可得，，，
又，.
根据余弦定理可得
当且仅当时，等号成立，的最小值为.
故选：B.
2．C
【分析】根据向量的数量积运算及余弦定理求解即可.
【详解】设半径为，，
则，
由余弦定理知，
故选：C
3．C
【分析】由余弦定理解三角形得，取BC的中点O，连接AO，则，即可建立如图平面直角坐标系，由坐标法求最小值.
【详解】在中，由余弦定理得，即，解得，
取BC的中点O，连接AO，则.
以O为坐标原点，BC为轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 所以，，，
设，所以，，
所以，当且仅当，时等号成立，
即的最小值是.
故选：C.
4．C
【分析】设，得，由利用余弦定理得代入，再利用平方关系求出可得，利用二次函数配方求最值可得答案.
【详解】设，，由得，
因为，，所以，
且为锐角，可得，
在中由余弦定理可得，
即，，
所以，
，
所以，
当且仅当即等号成立.
故选：C.
5．C
【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，结合为三角形内角即可解得的取值范围.
【详解】解：因为，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
由为三角形内角，即，可得：.
故选：C．
6．A
【分析】设，，，利用余弦定理列方程，化简可得与的关系，根据同角关系求，再求的最大值.
【详解】设，，，则，，
在中，由余弦定理可得，，
所以，即，①
在中，由余弦定理可得，，
所以，②
所以①②相减，可得，，所以，故，
因为，，所以，
①②相加可得，，所以，
所以，
又，所以，
令，则，，
所以当，即时，取最大值，最大值为，又，
所以的最大值为，
故选：A.
7．D
【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.
【详解】依题意，作出图形，
因为点是的重心，所以是的中点，故，
由已知得，
因为，所以，
又因为点是的重心，所以，则，
又因为，所以，则，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因为，令，则，
所以，
则.
故选：D.
.
8．A
【分析】直接利用余弦定理计算得到，再根据同角三角函数关系得到答案.
【详解】，，
，.
故选：A
9．CD
【分析】利用余弦定理和三角形的两边之和大于第三边即可证明．
【详解】作，设，，．
由余弦定理得，
同理，．
因此以，，为边长能够围成三角形即可，
根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知CD符合，AB不符合.
故选：CD
10．ACD
【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由可判断C，由两角和的正切公式可判断D.
【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得，
所以，，A正确；
对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，
则，可得，B错误；
对于C，，则，如图：
所以有两解，C正确；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】根据诱导公式可判断A，由同角三角函数的基本关系及诱导公式，余弦函数的单调性判断B，由两角和的正切公式变形即可判断C，由余弦定理可化简判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，
，，B错误；
对于C，在任意斜三角形中，，
整理得，
即，C正确；
对于D，在三角形中，，D正确.
故选：ACD.
12．AC
【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案.
【详解】，，故A对；
，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；
，故D错.
故选：AC
13．
【分析】利用基本不等式结合余弦定理可求得的取值范围，可得出的取值范围， 进而可求得的最大值.
【详解】由余弦定理可得，
当且仅当，等号成立，
因为，则，故.
即的最大值为.
故答案为：.
14．
【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简, 由的范围特殊角的三角函数值求出，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值.
【详解】由可得
在中，由正弦定理得：
由得，
由得
得
∴由余弦定理得
解得，
故答案为：.
15．（0，2）
【分析】由题意可知此三角形的最大边为，设此边所对应的角为，则为钝角，，结合余弦定理可得，再结合三角形的三边关系即可得答案.
【详解】解：因为，
所以此三角形的最大边为，
设此边所对应的角为，则为钝角，
由余弦定理可得，
即有，
整理得，
解得，
又因为，
即，
所以的取值范围为：.
故答案为：
16．或
【分析】根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得，然后根据为直角三角形，分或，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简，进而可求值域，
（2）根据结合正弦型函数的性质可得，进而由余弦定理以及不等式即可求解.
【详解】（1），
∴的值域为．
（2），
即，由 ,得
∴，即，
又，即，
∴，
∴，当且仅当时取得．
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案.
（2）将代入正弦定理可得，要使角有两解，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得，因为，
所以，因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理得，
所以，所以，因为，所以；
若选③：由正弦定理整理得，所以，
即，因为，所以；
（2）将代入正弦定理，得，所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，
即，又，所以，解得.