6.4.3正弦定理 基础练习（含解析）

第六章6.4.3正弦定理基础练习-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（ ）
A． B．或 C． D．或
2．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
5．的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知函数（，）的图像与坐标轴交于点、、，且的坐标为，直线交的图像于另一点，原点是的重心，则的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
10．在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．在中，已知，则=（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
14．数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形,再分别以、、为圆心,线段长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是__________．
15．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．
16．在中，内角 的对边分别为 ，若的面积为，则的值为___________.
四、解答题
17．在中,角所对的边分别为.已知,,.
(1)求B的值;
(2)求b的值;
(3)求的值.
18．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求;
(2)若,求外接圆的半径R．
参考答案：
1．D
【分析】根据，利用正弦定理求解.
【详解】解：在中，，
由正弦定理得，
所以，
所以或，
故选：D
2．A
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，
又因为，所以，
所以，
故选：A
3．B
【分析】直接利用正弦定理可求解.
【详解】，，
，
由正弦定理得，
.
故选：B.
4．B
【分析】分别求出两直线斜率，相乘，利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】由题意可知直线与直线的斜率均存在且不为0，
直线的斜率，
直线的斜率，
由正弦定理可得，
所以两直线垂直，
故选：B
5．D
【分析】先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出.
【详解】因为，，的面积为，
所以,所以.
由余弦定理得：.
故选：D.
6．B
【分析】利用正弦定理可得，将数据代入可得：，再利用大边对大角即可求解.
【详解】因为，所以.
因为，所以.
故选：.
7．B
【分析】根据三角函数的对称性可得函数的最小正周期与，代入点可得函数解析式，进而确定点，及，再利用正弦定理确定的外接圆的半径.
【详解】根据三角函数图像的对称性，可知点是的中点，
又原点是的重心，的坐标为，得，即点的坐标为，
于是函数的最小正周期，进而得，
所以.
又由题意得，而，
则，所以.
令，得，即点的坐标为，
于是，得，进而得，
又点是的中点，得点的坐标为，
所以，
设的外接圆的半径为，则，
得.
故选：B.
8．A
【分析】利用正弦定理即可求解
【详解】根据正弦定理有，结合，，，
则．
故选：A
9．AD
【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.
【详解】设，，，，
则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.
故选：AD
10．BC
【分析】对于A，直接判断即可；对于B，，结合即可判断；对于C，，结合即可判断；对于D，，结合即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；
对于B，因为，
所以由正弦定理得，
因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；
对于C，因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以有两解（，或，），故C正确；
对于D，因为，
所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，故D错误；
故选：BC
11．CD
【分析】根据题意先求出的值，根据正弦定理可推得，当，且时，有两个解，即有两个解.
【详解】A项：因为，所以.
由正弦定理可得，，无解，A错误；
B项：因为，所以.
由正弦定理可得，，只有一个解，B错误；
C项：因为，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，C正确；
D项：因为，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，D正确.
故选：CD.
12．AC
【分析】根据正弦定理求得，进而求得的值，得到答案．
【详解】由正弦定理，可得，
又由且，所以或．
故选：AC．
13．
【分析】利用正弦定理，将已知条件中的角化边，再由齐次式进行求解即可.
【详解】∵，∴由正弦定理，得；
又∵，
∴由正弦定理，得，
将代入上式，化简整理得，
两边同除以，得，
解得或（舍）.
故答案为：.
14．
【分析】根据图形分析,利用扇形面积和三角形面积求解即可.
【详解】如图,
由条件可知,弧长,等边三角形的边长,
则以点、、为圆心,圆弧所对的扇形面积为,
中间等边的面积,
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为:.
15．
【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，
因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为，
故答案为：
16．
【分析】由面积公式得一等式，然后由正弦定理化边为角即可得．
【详解】，所以，由正弦定理得．
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据余弦定理求解;
(2)根据同角三角函数关系求出,再用正弦定理求解;
(3)根据(1)(2)中所求数值,求出和,再利用两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）因为,
由余弦定理可得,
可得,
所以.
（2）由,则,
由(1)知,又因为,
正弦定理得:,
则.
（3）因为, ,
所以.
18．(1)
(2)
【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;
(2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为,
所以
,
所以,因为,
所以,所以,又,
所以;
（2）因为,
所以在中,由正、余弦定理得:
,
所以,故,
由正弦定理得,
所以外接圆半径为.