6.3.5平面向量数量积的坐标表示 基础练习（含解析）

第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示基础练习-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则
3．已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
4．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）．
A．2 B． C．1 D．
5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中,,点满足,则（ ）
A． B．14 C． D．
7．设，向量，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知向量，，且，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知向量，则（ ）
A． B．向量的夹角为
C． D．在方向上的投影向量是
11．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的值为
C．若，则的值为
D．若，则与的夹角为锐角
12．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若向量，，且，共线，则______．
14．设向量，则与的夹角等于__________．
15．已知平面向量，，则与的夹角为______.
16．已知向量，，若，则______．
四、解答题
17．已知向量，.
(1)求与的夹角：
(2)若满足，，求的坐标.
18．已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.
【详解】由题知，，
所以，
设与夹角为，
所以在上的投影向量是，
故选：.
2．B
【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示以及模长公式一一判断求解.
【详解】对于A，若，则有，所以，A错误；
对于B，若，则有，所以，B正确；
对于C，，所以，
解得或，C错误；
若与的夹角为钝角，则，即，
且与不能共线且反向，
由A选项可知，当时，，
此时与共线且反向，
所以若与的夹角为钝角，则且，D错误，
故选:B.
3．C
【分析】可由题意设出，，由，根据向量垂直的性质得，再由向量的夹角的余弦值为，可解得，再代入求解即可.
【详解】由题意不妨设，，
则，，
由，可得，即，
又由，解得，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】求出，，，代入夹角公式解方程即可求出.
【详解】由已知，，，
则.
解得，（舍去，）
故选：B.
5．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.
【详解】
以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，
因为，,所以，即，
且所以，
所以，
故选:C.
6．A
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,找到各个点的坐标,根据,求出点坐标,代入中即可得出结果.
【详解】解:由题不妨以为坐标原点,方向分别为轴建立如图所示直角坐标系,
则
所以,,
因为
设,
所以,
解得,
所以,
所以.
故选:A
7．D
【分析】由向量垂直的坐标表示求，再由向量减法的坐标表示和模的坐标表示求.
【详解】因为，，且，
所以，所以，则，可得．
故选：D．
8．D
【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】依题意有，
∴，，∴，
又，∴．
所以与的夹角为，
故选:D．
9．BCD
【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案.
【详解】由，得，即，解得或，则A错误，B正确；由，得，解得，则C，D正确．
故选：BCD.
10．BD
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
11．AC
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A说法正确；
因为，所以，所以选项B说法不正确；
因为，所以，所以选项C说法正确；
当时，，所以，因此选项D说法不正确，
故选：AC
12．ABD
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，共线，所以，解得：，
所以，，
所以，
故答案为：.
14．##
【分析】根据平面向量的夹角公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
则，
∵，故与的夹角等于.
故答案为：.
15．
【分析】先求，再利用平面向量的夹角公式求出结果．
【详解】设与的夹角为，由已知，得，
所以.
又，，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
16．##
【分析】由向量垂直的坐标表示直接构造方程求解即可.
【详解】由题意得：，
，，解得：.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据向量的坐标运算得出、，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值；
（2）设，表示出.根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出，解方程组即可得出结果.
【详解】（1）解：设与的夹角为.
由已知可得，，
则，，，
所以，
又，所以，
所以与的夹角为.
（2）解：设，则.
由（1）知，又，
所以.
又，所以.
联立可得，，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围
【详解】（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.