6.3.5平面向量数量积的坐标表示 能力冲刺卷（含解析）

第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示能力冲刺-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设向量，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．已知向量的夹角为，且是函数的两个零点.若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为坐标原点，点，，，，，下列两个式子：①；②，下列说法中正确的是（ ）
A．①和②都对 B．①和②都错
C．①对②错 D．①错②对
二、多选题
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角
10．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在，使得
12．已知向量，，，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．的最小值是
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在边长为12的正三角形中，E为的中点，F在线段上且．若与交于M，则__________．
14．已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
15．如图：正四棱锥中，若高为，底面边长为，为的中点，并建立如图所示的空间直角坐标系，若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹方程是______．
16．已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______.
四、解答题
17．已知向量，，．
(1)求的最小值及相应t的值；
(2)若与共线，求与的夹角．
18．已知平面向量，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且．
(1)试求函数关系式；
(2)求使的t的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由向量垂直的坐标表示结合充分必要条件的定义判断.
【详解】或或，
故选：B．
2．A
【分析】由题知或.，再根据向量垂直的数量积表示，数量积的运算律分别讨论求解即可.
【详解】解：因为函数的两个零点分别为2，3，
所以或.
又，
所以，则，即.
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得，满足.
综上，
故选：A
3．C
【分析】不妨设，，，，利用数量积和模长的坐标表示求得点的轨迹即可求解.
【详解】因为，，的夹角为，
所以，
不妨设，，，则，，
则，解得或，
设，由得在以为圆心，1为半径的圆上，
或
所以的最小值为.
故选：C
4．D
【分析】以点为原点，建立直角坐标系，可知两点都是圆上的动点，当直线斜率不存在时，可得，直线斜率存在时，可得到或，再讨论与的大小关系，即可求解.
【详解】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，易知两点都是圆上的动点，
当直线斜率不存在时，，
此时，，则
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，
；
同理，当时，，，
，
综上所述，的取值范围是，
故答案选：D.
5．B
【分析】先求出的坐标，再求出，即得解.
【详解】解：由题得，
所以，
所以在方向上的投影向量模长为，解得.
故选：B
6．D
【分析】建立平面直角坐标系，设，，利用已知条件求出的坐标，然后通过数量积运算结合二次函数的性质求出最大值．
【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
，，，，
，
设，，则，，
可得，，
，
，当时，取得最大值5．
故选：D．
7．D
【分析】由已知求出，再求出即得解.
【详解】解：，
，
向量与向量的夹角为.
故选：D.
8．C
【分析】利用向量数量积的坐标运算结合两角和差的三角函数公式验证等式①②的正误，即可判断答案.
【详解】解：∵，，，，∴，，，，
∴，，
∴，故①正确；
又，，
∴，故②错误.
故选：C.
9．AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB
10．AD
【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.
【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
A选项：易知，，，，所以，，
则，所以，所以A正确.
B选项：易知，，，，
，，所以，，，
所以，得，解得，，所以，所以B错误.
C选项：由选项A，B知，则，
，，所以C错误.
D选项：易知，，设，则，，
所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确.
故选：AD.
11．BD
【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，
，A选项错误.
B选项，在上的投影向量为，
所以，
，
由于，所以，B选项正确.
C选项，与共线的单位向量可以是，
即和，所以C选项错误.
D选项，若，则，
，
，，其中，
所以，由于，，
则当时，，
所以存在，使得，D选项正确.
故选：BD
12．ABD
【分析】根据投影向量的定义求得在上的投影向量判断A，求出向量的模，由函数性质得最小值判断B，计算，根据其正负确定的范围，然后判断的正负，从而判断CD．
【详解】，
在上的投影向量为，A正确；
，
，
所以时，取得最小值，B正确；
，，无法判断的符号，C错误；
，，则，D正确．
故选：ABD．
13．
【分析】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设，根据得到，再计算向量数量积得到答案.
【详解】如图所示：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，即，，，
.
故答案为：
14．
【分析】由，可得，即，再结合条件，，不妨设，，，结合条件可得，表示出向量在向量上的投影的数量，从而求得最小值.
【详解】由，则，
即，即，即，
又由，所以，，
不妨设，，，
则，即，
即，则
故向量在向量上的投影的数量为，
又，所以，
所以向量在向量上的投影的数量的最小值是.
故答案为：.
15．
【分析】利用点到直线距离的向量求法可构造方程，整理即可得到所求轨迹方程.
【详解】，，，，
，，，，
点到直线的距离，点到直线的距离，
，
即，整理可得：，
即点轨迹方程为：.
故答案为：.
16．
【分析】建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，过点作，垂足为，
因为，且，所以，又，
所以，在中，因为，所以，
，则，所以，设，
则
，又，所以，则，
即的取值范围是，
故答案为：.
17．(1)最小值为，此时
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式求出，根据二次函数求最值，即可得出答案.
（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
当且仅当取“＝”，
即的最小值为，此时．
（2）因为，，
所以由与共线得，
解得，此时，
设，的夹角为θ，
则，又,
故与的夹角为．
18．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据列方程即可得出k关于t的函数；
（2）解不等式得出t的范围.
【详解】（1）由，，得，，．
因为，所以
，于是，即．
（2）由，得，即，解得或．