6.4.3正弦定理 能力冲刺卷（含解析）

第六章6.4.3正弦定理能力冲刺-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（ ）
A． B． C． D．
3．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，角所对的边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
8．记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．向量满足，，，则的值可以是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．
10．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解
B．，无解
C．，有两解
D．，有唯一解
11．在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A． B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则P是的垂心
C．若面积为S，，则
D．
三、填空题
13．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
14．如图，在平面四边形中，，三角形的面积为，则__________.
15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA=2csinB，cosB=，b=3，则△ABC的面积为________．
16．如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______．
四、解答题
17．记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点.
(1)证明：；
(2)若，求的周长.
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角中，内角的对边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，，求线段长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.
【详解】在中，由正弦定理得：，因此，
则，而，即有是正三角形，
所以的面积.
故选：B
2．C
【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果.
【详解】已知角，，
由正弦定理可得，
整理得，即，
因为，所以，所以.
又，所以.
故选：C.
3．B
【分析】由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.
【详解】解：由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：B
4．C
【分析】依题意可得到B的取值范围，先求出，，再根据正弦定理得到，再结合二次函数性质即可求得的取值范围．
【详解】，，，，
由正弦定理可得，
令，则，
由二次函数性质知，．
故选：C．
5．A
【分析】由正弦定理求出外接圆的半径为，得出弓形部分所对的圆心角，求出弓形面积后由半圆面积减去弓形面积即得．
【详解】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，，
因此，中弓形面积为，
从而阴影部分面积为．
故选：A．
6．B
【分析】设外接圆半径，连接，设点到三边的距离分别为，,再结合正弦定理可求得.
【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为，
由锐角知均为正数，
由外接圆知，所以，
同理: ，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：B.
7．A
【分析】根据面积公式以及正弦定理得，进而根据不等式求解的最值，即可得，，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】由得,由正弦定理得，
因此，当且仅当时取等号，
故当时，取到最大值3，此时，，
故，
故选：A
8．C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算即可得到，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，进而可求得的最大值．
【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，
∴，又，∴，
∴
∵，∴，
∴当，即时，的最大值为1，即的最大值为1．
故选：C．
9．AC
【分析】设，，，由题意可知，，即有,从而得四点共圆，然后结合正弦定理及余弦定理求解即可.
【详解】解：设，，，
由向量满足，，，
所以，
所以.
① 当时，，
即,
即四点共圆，
由余弦定理可得：，
设四边形的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，
又点在优弧上（不含端点），
则，
则有，
则；
②当时，，
则在以为圆心的圆上运动，其中点在优弧上（不含端点），
则，
综合①②可得，
故选：AC.
10．AD
【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.
【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；
选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.
【详解】根据正弦定理由，因此选项A正确；
设，所以为最大角，
，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确；
，显然为锐角，
，
因此有，因此选项C正确；
由，
外接圆的半径为：，因此选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.
12．ABC
【分析】A.根据三角形的性质和正弦定理判断；
B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；
C.根据三角形面积公式，和余弦定理求解；
D.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.
【详解】A.，再根据正弦定理，，所以是的充要条件，故A正确；
B. ，所以，同理，，所以P是的垂心，故B正确；
C.由条件可知，，即，所以，所以，，所以 ，故C正确；
D. ，故D错误.
故选：ABC
13．
【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，从而可表示出的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.
【详解】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：
14．4
【分析】在中，由正弦定理可得，在中，由三角形的面积公式可得，再由余弦定理有，即可解得，即可得答案.
【详解】在中，，
由正弦定理有：，即，解得，
由三角形的面积公式有：，
则，①
在中，由余弦定理有：，
所以，②
由①②解得，
所以
故答案为：4
15．##
【分析】由已知结合正弦定理可得，然后利用余弦定理可求，.再由同角关系求，并利用三角形的面积公式求三角形面积．
【详解】由结合正弦定理得，，又，
所以，
因为，，
由余弦定理可得，，
解得，，，
因为，
所以，
则的面积．
故答案为：.
16．12
【分析】连接，，，设，，，先证明，再求得，，则六边形AECBDF的周长为关于的函数，进而求得最值即可．
【详解】连接，，，
由，则，
设，，，
则，，
又，得，，
在直角中，由，则，，
在中，由正弦定理有，即，得，
所以六边形AECBDF的周长为
，
故当，即时，取得最大值，且最大值为12．
所以六边形AECBDF的周长的最大值为12．
故答案为：12．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将六边形AECBDF的周长和边的关系转化为周长和角的关系．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由结合三角形面积公式和余弦定理，解得，再根据角平分线和面积公式由得，化简既可；
（2）由内角平分线定理结合（1）中的结论，求出，再由余弦定理求，可得三角形周长.
【详解】（1）由可知，，
所以，又，故，如图所示，
所以，得，
化简整理得；
（2）因为，故，所以，又，
化简得，解得，又，
故，所以的周长为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角的三角函数值，再结合角的取值范围即可求得角的大小；
（2）先利用余弦定理建立关于的方程，再利用向量的线性运算将转化为与，的关系，两边同时平方即可将用表示，最后利用是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求长的最大值即可．
【详解】（1）方案一：选条件①．
由正弦定理得，
∴，
∵，∴，即，
∵，∴．
方案二：选条件②．
由正弦定理得，即，
∴，
∵，∴．
方案三：选条件③．
由余弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
（2）由，得，
∵，∴，即，
两边同时平方得，
∴．
令，则，，
令，则，，
在锐角中，
∴，∴，
∴，
∴，当且仅当时取等号，
∴线段长的最大值为．