6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例 能力冲刺（含解析）

第六章6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例能力冲刺-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
2．我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（ ）
A．18 B．16 C．12 D．21
3．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
4．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何 这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．
A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．
7．如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（ ）
A．100m B． C． D．200m
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12 D．面积有最小值
10．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则
C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则
11．在中，下列命题正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．若，则是等腰三角形
C．若，，则是等边三角形
D．若，则
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．△ABC的面积为
三、填空题
13．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．
14．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.
15．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.
16．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
四、解答题
17．如图,在平面四边形中,,.
(1)试用表示的长;
(2)求的最大值.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.
【详解】依题意，如图，在中，
，则，
由正弦定理得，即 ，因此（海里），
所以两点间的距离是 海里．
故选：A
2．A
【分析】由题可得，，结合条件即得.
【详解】由题可知，，
所以，，又，，，，
所以，，
解得，.
故选：A.
3．A
【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.
【详解】设教学楼的高度为，
在直角三角形中，因为，所以，
在直角三角形中，因为，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得解得或（舍），
故选:A.
4．B
【分析】依题意画出图形，利用两角差的正切公式及锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算可得.
【详解】解：依题意可得如下图形：
则，，，所以，
所以
，
所以，所以，
所以绳索长为米.
故选：B
5．A
【分析】根据题意求出，，，再根据余弦定理求出，最后由二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，
当伞完全收拢时，，所以，
在中，，
所以.
故选： A
6．B
【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.
【详解】解：设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，
则，，，
由，得，
解得，
由余弦定理得，
则，
所以，
所以三角形是锐角三角形，
故选：B
7．D
【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，在中根据勾股定理求解.
【详解】设与交于点，过点作于，连
接，如图所示，则中，，
，所以，在中，由勾
股定理得，，解得．
故选：D
8．A
【分析】根据画出图形，设，结合条件可得，，然后根据余弦定理即得.
【详解】设，则，，
∴，
在中，由余弦定理可得
，
∴，
∴(负值舍去)，即直塔AB的高为100m.
故选：A.
9．ABC
【分析】对于ABC，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故
由于，
无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
10．ABD
【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；
对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；
对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、
故选：ABD.
11．BCD
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用正弦定理边角互化求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
所以，是的充要条件，A错；
对于B选项，由可得，可得，
所以，为等腰三角形，B对；
对于C选项，由余弦定理可得，可得，
所以，为等边三角形，C对；
对于D选项，由及正弦定理可得
，
所以，，
，，则，所以，，则，
因此，，D对.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】根据正弦定理，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，因此，
因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以由
，或舍去，
因此，所以选项C正确；
△ABC的面积为，所以选项D正确，
故选：ACD
13．
【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.
【详解】解析：因为，
根据正弦定理可知，即，
由余弦定理可知，又，故，
又因为，所以，
（当且仅当时取等号），即
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
14．
【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解.
【详解】在中，，
所以，
在中，，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得：
所以(米).
故答案为：.
15．
【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.
【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得米.
故答案为：
16．60
【分析】根据题意，分别得出，.然后在，根据余弦定理，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，，.
则在中，，所以.
同理可得，.
在中，有，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得（舍去负值）.
所以，.
故答案为：60.
17．(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可;
(2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.
【详解】（1）（）,,,
，则
在中,
,
,则.
（2）在中,
,
则当时,取到最大值.
故的最大值是
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意及正弦定理知，，
，
，.
（2），
又，
由①，②可得，
所以的周长为.