6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例 基础练习（含解析）

第六章6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例基础练习-人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设为地球球心，人的初始位置为点，点是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（ ）
（参考数据：，，）
A．5800 B．6000 C．6600 D．70000
2．在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（ ）
A．20米 B．50米 C．200米 D．140米
5．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ）
A．2.5 B． C．3 D．4
6．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
8．三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
二、多选题
9．重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为基座（即在的正下方），在步行街上（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度的是（ ）
A． B．
C． D．
10．定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
12．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题
13．已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
14．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.
15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.
16．据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．
四、解答题
17．已知，．如果定义．
(1)求的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，且，求．
18．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】设.由已知可推得，，进而在中，得出，则有，即可得出答案.
【详解】设，弧的长为.
由题意可得，.
显然，，则在中，有，
所以.
所以，.
所以，需要登上楼的层数约为.
故选：C.
2．C
【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.
【详解】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.
故选：C.
3．B
【分析】设出，，通过已知在中由余弦定理得出，过点C作，结合已知得出与即可得出答案.
【详解】设，则，
，，
则在中由余弦定理可得：
，
解得：，
则，，
过点C作，
研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为，
，，
则，
，
则，，
则，
，
故选：B.
4．D
【分析】设山高，结合题意在三角形中求出，然后利用正弦定理即可求解.
【详解】设山高，在中，，，
在，，所以，
在中，，所以，
在中由正弦定理可得：，
也即，
所以，
故选：.
5．C
【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM的最大值.
【详解】由题意，
绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则
设,
则，
，
，
故选：C.
6．A
【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.
【详解】依题意，不妨设，，，则，，
由余弦定理得，即，则，
故，则，
所以，
又因为，
故，
当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．
所以，即.
故选：A.
7．C
【分析】分析出为等腰直角三角形，求出的长，在中，利用正弦定理可求得的长，然后在中可求得的长，即为所求.
【详解】在中，，因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理可得，，
在中，，又因为，则.
故选：C.
8．C
【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】对于A，由，得，
得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，故A说法正确；
对于B，因为面积为，所以，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的周长的最小值为.故B说法正确；
对于C，当，时，由余弦定理得，
所以，得，
解得或（舍），故C说法不正确；
对于D，若，，由正弦定理得，
得，
所以面积为，
因为，
所以面积为.故D说法正确.
故选：C
9．ABD
【分析】根据正余弦定理的应用，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，如图，根据，可利用正弦定理求得，从而求得，故A正确；
对于选项，根据，，利用正弦定理可求得，从而求得，故B正确；
对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；
对于D选项，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正确.
故选：．
10．ACD
【分析】由新定义运算得，对于选项A：由正弦定理边化角后知正确；对于选项B：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正确；对于选项D：结合条件可得计算即可判断出为钝角.
【详解】由可知，整理可知，由正弦定理可知，，从而可知A正确；
因为满足，但不满足，故B不正确；
B错误；（当且仅当时取“=”），
又，∴B的最大值为，故C正确；
由可得，解得，又，从而可得为最大边，
，角A为钝角，故D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
12．ABD
【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.
【详解】设边上的高为，则
，，
，即，A正确；
由余弦定理得：，
又，，
，B正确；
，，，，
；
，，，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
故答案为：
14．600
【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.
【详解】，则，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，则.
故答案为：
15．
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
16．##
【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.
【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．
设台风移动小时后的位置为，则.
又，，
在中，由余弦定理，得，
由可得，，
整理可得，，
解得，
又，
所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．
故答案为：.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）由辅助角公式化简函数，再由整体法求单调递增区间；
（2）分别由余弦定理、正弦定理及和差公式，可建立三个角间的方程，进而解得.
【详解】（1）∵ ，，，
∴，
由得的单调递增区间是，．
（2）由（1）知：，，解得．
∵ ，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
∴ ，
∴ ，
在△ABC中，解得：或，
∵，，∴，
∴．
18．(1)；
(2)2
【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.