8.1.1棱柱 基础练（含解析）

第八章8.1.1棱柱基础练--人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
3．已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（ ）
A．3 B． C． D．1
4．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
7．已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ）
A．截面可能是矩形 B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形 D．截面不可能是正方形
8．在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12π B．8π C．6π D．4π
二、多选题
9．在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ）
A．若M为棱的中点，则直线平面
B．若M在线段上运动，则的最小值为
C．当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为
D．若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为
10．如图，正方体的棱长为分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的是（ ）
A．四点一定共面
B．若四边形为矩形，则
C．若四边形为菱形，则一定为所在棱的中点
D．若四边形为菱形，则四边形周长的取值范围为
11．已知正方体的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为6
C．若点P到直线的距离为1，则点P的轨迹长度为4
D．若点P到直线，，CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个
12．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，S为等腰梯形
B．当时，S与的交点R满足
C．当时，S为六边形
D．当时，S的面积为
三、填空题
13．十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是________(注：填图①或图②)．
14．在正三棱柱中，，底面的边长为2，用一个平面截此三棱柱，截面与侧棱，，分别交于点，，，且为直角三角形，则的面积的取值范围是___________.
15．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，是的中点，，，分别在棱，上，且，，平面与交于点，则______．
16．已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
四、解答题
17．用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：
(1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？
(2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？
(3)能否截出正五边形？为什么？
(4)是否存在正六边形的截面？为什么？
(5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？
18．如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
参考答案：
1．A
【分析】先作出经过，D，E三点的正方体的截面，再利用梯形面积公式即可求得该截面面积.
【详解】正方体中，平面，
则平面与平面的唯一交线与平行.
取中点F，连接、、、，
则四边形即为经过，D，E三点的正方体的截面
梯形中，，，
则梯形的高为
则梯形的面积为
故选：A
2．A
【分析】利用点面对称关系，找到点关于平面的对称点为，则，再根据两点之间线段最短，可得答案.
【详解】解：取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意，作出平面与正方体的截面，然后，找出当平面与底面所成的锐二面角最小时，该截面的相关边长，然后，利用相似，即可求出答案.
【详解】连接，则为直线与底面所成的角.
由于平面，因此平面与底面所成的锐二面角的大小不小于.
下面作平面，使得平面与底面所成的锐二面角恰为：
取的中点N，则，故平面.
取的中点E，则，故平面.
则当平面位于平面时，平面与底面所成的锐二面角恰为，
此时平面与底面所成的锐二面角最小.
如图作出截面，其中，，，，
从而，
故选：B
4．D
【分析】根据条件可得平面经过点，然后可得答案.
【详解】
连接
因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点
所以，所以平面经过点
所以多面体的正视图为
故选：D
5．D
【分析】由题设，令，且，可得，结合二次函数的性质求参数m的范围即可.
【详解】若线段上存在一点，使得，如下图示：
则，令，则，
设且，有，则，，
所以，整理得，
故在上有零点，而且对称轴为，开口向上，
所以，只需，则，即的取值范围是.
故选：D
6．B
【分析】先判断出平面即为正方体被平面截得的截面，再求面积即可.
【详解】
连接，由点是线段的中点，可得经过点，又，则四边形为平行四边形，
又点面，则平面即为正方体被平面截得的截面，
又，，则截面面积为.
故选：B.
7．C
【分析】选过特殊点(中点、对角顶点)且含体对角线的平面截取正方体，根据正方体的性质及结构特征、勾股定理分析各选项的正误即可.
【详解】如下图，当分别与对角顶点重合时，显然是矩形；
如下图，当，为，的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：不可能为正方形；
根据对称性，其它情况下为平行四边形；
综上，C不正确.
故选：C.
8．C
【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.
【详解】如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
9．ACD
【分析】作交点，连接，可证，进而得到平面；展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理可求； 在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；平面与的距离最短恰为，能找出此点恰在上.
【详解】对选项A，作交点，连接，因为为中点，M为棱的中点，所以，又因为平面，所以平面，故A正确；
对选项B，展开与到同一平面上如图：
知，故B错误；
对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确；
对选项D，直线与平面距离显然为，当为中点时，设中点为，易得，所以为M到直线最短距离，选项D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】根据棱长为，且可得，再逐项分析即可得解.
【详解】
连接交于点，为正方体的中心，
由棱长为，
且，
可得，
所以交于点，交于点，
所以交于点，，
故四点一定共面，所以A正确；
对B，若四边形为矩形，
可以也可以，故B错误；
对C，若四边形为菱形，
则必有，
则必有一定为所在棱的中点或一定为所在棱的中点，故C错误；
四边形为菱形，当都为各边中点时，
四边形周长最小为，
若为所在棱的中点，而分别和重合时，
此时菱形周长最大，边长为，
所以周长为，故D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】根据题意分别分析可判断出轨迹，进而计算出结果.
【详解】对A，如图，点在以为球心，2为半径的球面上，该球面与正方体表面的交线为三段半径为2的四分之一圆，故轨迹长度为，故A正确；
对B，如图，点在过线段中点且与垂直的平面内，该平面与正方体表面的交线是边长为的正六边形，轨迹长度为，故B错误；
对C，如图，点在以线段为轴，底面半径为1的圆柱面内，该圆柱面与正方体表面的交线为两段圆弧和两条线段，故轨迹长度为，故C错误；
对D，如图，因为点到的距离相等，故点在过线段中点，且与垂直的平面内，在平面ABCD和平面内个存在一点满足要求，即满足条件的点有2个，故D正确.
故选：AD.
12．ABD
【分析】分，，三种情况讨论截面的形状，再逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】解：过点A，P，Q的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形，
当时，其截面形状为五边形如图2．
若，则，所以．
当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，
此时，
因为P为的中点，且，所以为的中点，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
所以四边形为菱形，其面积为．故ABD正确．
故选：ABD.
13．图①
【分析】根据给定几何体，设出其相应的棱长，表示出两种捆扎方式所用彩带长度，比较大小作答.
【详解】由给定的几何体及生活实际知，蛋糕盒是正四棱柱，设其底面正方形边长为a，高为b，
图②所用彩带总长为，对于图①，令彩带与包装盒的棱的部分公共点如图，
过E作交于F，由图①的几何体及对称性知，，则彩带总长为，
显然，于是得，
所以图①所用彩带总长比图②所用彩带总长短，所需的费用少.
故答案为：图①
【点睛】思路点睛：涉及实际生活中的几何体，联系生活并了解相应几何体的结构特征求解.
14．
【分析】设在处，，，再结合直角三角形中的各边的关系，求得，进而表达出，再结合的取值范围求解即可
【详解】不妨设在处，，，
则，，，
，
，
因为当且仅当时取等号，且，即，故.
故答案为：
15．
【分析】延长，交于，连接，交于，连接，，由三角形相似可得，，由直棱柱的性质可求得答案.
【详解】解：如图，延长，交于，连接，交于．则，
则，则，
又，所以，则，所以．
连接，，则，．
故答案为：.
16．
【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解．
【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；
则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．
∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，
∴AN＝，∴，
∴，，；
同理，，，；
∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案为：.
17．(1)三类，见解析
(2)五类，见解析
(3)不能，见解析
(4)存在，见解析
(5)不能，见解析.
【分析】（1）根据题意作出截面，并分类即可；
（2）根据题意，作出截面，并分类即可；
（3）假设可以截出，反证法说明即可；
（4）过六条棱个中点的截面即为正六边形.
（5）结合正方体最多只有6个平面说明即可.
(1)
解：如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况.
(2)
解：若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形.具体见图：
(3)
解：不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得，，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在.
(4)
解：存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形.
(5)
解：不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出超过边数超过6的多边形.
18．
【分析】利用正三棱柱的性质及勾股定理可证明，根据直角三角形面积公式转化为求最值即可.
【详解】正三棱柱中，为正三角形，
∵，，都是直角三角形，点D为棱的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
∴当点P与点重合时，的面积最大，最大值为.