8.1.2棱锥基础练（含解析）

第八章8.1.2棱锥基础练--人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若一个棱锥的每条侧棱在底面的射影长相等，则此棱锥（ ）
A．是正四面体 B．是正棱锥 C．不是正棱锥 D．不一定是正棱锥
2．已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上一动点，那么面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）.
A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥
5．已知三棱锥中，，，两两垂直，且，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正四棱锥的侧棱长为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积是（ ）
A． B． C．18 D．27
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体
B．正多面体的面不是三角形，就是正方形
C．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体
D．正三棱锥就是正四面体
8．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一般地，如果一个凸面体共有个面是直角三角形，那么我们称这个凸面体的直度为，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为
10．下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
11．从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（ ）
A．每个面都是直角三角形的四面体；
B．每个面都是等边三角形的四面体；
C．每个面都是全等的直角三角形的四面体；
D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．
12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（ ）
A．矩形
B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
三、填空题
13．正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为______.
14．已知一个正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为______．
15．已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为__．
16．正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是__．
四、解答题
17．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高．
18．试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可判断棱锥的底面不一定是正多边形，故可判断棱锥的形状，可得答案.
【详解】若一个棱锥的每条侧棱在底面的射影长相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心，
但底面不一定是正多边形，故此棱锥不一定是正棱锥，
故选：D
2．D
【分析】根据正四棱锥的性质得到平面，，然后根据，，得到的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.
【详解】
取中点，连接、、，
因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，，
因为为中点，所以，
因为平面，所以，
因为，，所以，，
在直角三角形中，当时，最小，为，当点和点重合时，最大，最大为4，所以，
，所以当时，的面积最小，为.
故选：D.
3．B
【分析】画出图形，求出，说明是矩形，结合图形，说明点在平面时，面积最小，求出即可得到范围
【详解】如图所示：
由正三棱锥的底面边长是2，
因为、、、分别是、、、的中点，
所以，
则，
所以是平行四边形
因为正三棱锥，
则对棱，的中点连线与
对棱，的中点连线相等，
即，所以四边形是矩形，
所以，
设的中心为，
则，
所以的面积
所以四边形EFGH面积的取值范围是：
故选：B．
4．D
【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.
【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A成立；
正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B成立；
正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C成立；
因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，
所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不成立；
故选：D.
5．B
【分析】根据，，两两垂直，利用勾股定理得到，，再根据，分别是，的中点，直角三角形和中位线的性质得到，，最后在等腰三角形中利用勾股定理求即可.
【详解】
取中点，连接，
∵，，两两垂直，，，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴， ，
∴三角形为等腰三角形，
∵为中点，
∴，.
故选：B.
6．A
【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.
【详解】如图，设正四棱锥的底面边长 ，高为，外接球的球心为,
则，
∵球的体积为，所以球的半径，
在中，则，
在中，，
解得,，
所以正四棱锥的体积，
故选:A
7．C
【分析】由正多面体的概念对选项依次辨析即可.
【详解】
对于A，如上图所示正四棱锥，底面为正方形，且，即满足底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等，但该多面体不是正多面体，故选项A错误；
对于B，如上图所示正十二面体的各个面均为正五边形，故选项B错误；
对于C，若长方体的各侧面都是正方形，则该长方体为正方体，即正六面体，故选项C正确；
对于D，如上图所示正三棱锥，且，但侧棱与底面边长不相等，则该正三棱锥不是正四面体，故选项D错误.
故选：C．
8．B
【分析】将正三棱锥沿剪开，要使的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知是等边三角形，即可知周长的最小值.
【详解】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，
∵，即，又的周长为,
∴要使的周长的最小，则共线，即，又正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，
∴.
故选：B
9．AD
【分析】先分析出三棱锥的直度最大为1，在画出三棱锥，得到4个面都是直角三角形，直度为1，A正确；画出图形，得到直度为的三棱锥不止一个，B错误；分析出四棱锥的直度最大为，C错误，画图图形得到直度为的四棱锥，D正确.
【详解】三棱锥共4个平面，这4个平面均有可能是直角三角形，故，
如图1，借助长方体模型，可知三棱锥的4个面都是直角三角形，直度为1，故A正确；
如图2，借助长方体模型，三棱锥的3个面，平面，平面，平面是直角三角形，平面不是直角三角形，故直度为，
而图1中的三棱锥，平面，平面，平面是直角三角形，平面不是直角三角形，故直度也为，故B错误；
四棱锥共有5个面，其中4个侧面为三角形，底面为四边形，故直度最大为，C错误；
如图3，借助长方体模型，四棱锥的4个侧面是直角三角形，底面是矩形，直度为，故D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】A.画图判断；B.由正棱柱的定义判断；C.由正三棱锥和正四面体的定义判断；D.由直棱柱的定义判断.
【详解】解：A.如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；
故选：AC
11．ABD
【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可
【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确；
对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确；
对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误；
对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确；
故选：ABD．
12．ABCD
【分析】根据正方体的结构特征，应用数形结合法及棱锥的特征判断各选项的正误.
【详解】A：如下图，四边形为矩形，正确；
B：如下图，四面体三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，正确；
C：如下图，四面体每个面都是等边三角形，正确；
D：如下图，四面体每个面都是直角三角形，正确；
故选：ABCD
13．
【分析】由正六棱锥图形特征，结合勾股定理可得答案.
【详解】因几何体为正六棱锥，则其底面为正六边形，则底面中心O到底面一顶点B的距离，六棱锥上顶点A与底面中心连线为六棱锥的高，又侧棱长 2，
则棱锥高.
故答案为：
14．3
【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案.
【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，
侧棱长为，
设O为的中心，
取中点D，连结，则O在上，为三棱锥的高，
则，，
故，
∴正三棱锥的高为3，
故答案为：3
15．3
【分析】分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数.
【详解】四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，
综上，这样的不同四面体的个数为3．
故答案为：3.
16．3
【分析】先画出该三棱锥图像，然后利用边角关系求解即可.
【详解】画出正三棱锥的图形如图，
三角形的中心为，连接，球的球心，在上，连接，
取的中点连接，则，，，
，所以，，，
底面三角形的高为，底面三角形的边长为，，．
故答案为：3
17．高为3，侧面上的斜高为.
【分析】根据正三棱锥的性质结合条件即得.
【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接，
由正三棱锥的定义得面，
又为等边三角形，则，
所以正三棱锥的高,
作交于，又，，
则正三棱锥的斜高，
所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为．
18．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）3条棱是正方体的面对角线，3条棱是正方体的棱即可，
（2）6条棱均为正方体的面对角线即可.
（1）
如图所示，三棱锥（或三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥答案不唯一）.
（2）
如图所示，三棱锥（或三棱锥答案不唯一）.