8.1.2棱锥 能力冲刺（含解析）

第八章8.1.2棱锥能力冲刺--人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正四棱锥，M，N为棱PA，PC的中点，平面BMN与棱PD交于点Q，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形MBNQ是菱形
B．四边形MBNQ对角线MN中点也是四棱锥高线的中点
C．
D．
2．三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．至少4种
3．一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，另一个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
5．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（ ）
A．302.7 B．405.4 C．530.7 D．1061.4
6．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
7．以下关于正棱锥的叙述不正确的是（ ）
A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心
B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形
C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形
D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
8．在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．；
B．；
C．三棱锥是正三棱锥；
D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直.
10．（多选）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则这4个顶点可能构成（ ）
A．矩形
B．每个面都是等边三角形的四面体
C．每个面都是直角三角形的四面体
D．有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
11．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）
A．乐、新、快 B．快、新、乐
C．新、快、乐 D．乐、快、新
12．下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
三、填空题
13．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则________．
14．已知正三棱锥满足，，则______．
15．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______.
16．如图，正四面体的棱长为1，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是___________.
四、解答题
17．（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．
18．（1）如图，在四面体中，平行于，的平面截四面体所得截面为.
①若，，求截面的周长的范围；
②如果与所成角为，，是定值，当在何处时？截面的面积最大，最大值是多少？
（2）如图，若点为四面体底面的重心，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱，，交于，，与交于点，试探求：能中的值，并证明.
参考答案：
1．B
【分析】如图连接，、，设，连接，设，即可得到，从而判断B正确，延长交于点，连接、，即可判断为上靠近的三等分点，从而得到A、C错误，因为侧棱与底面边长关系无法确定，从而无法判断；
【详解】解：如图连接，、，设，连接，设，
因为M，N为棱PA，PC的中点，所以，则为的中点，根据正四棱锥的性质可知即为四棱锥的高，故B正确；
延长交于点，连接、，则，
因为、、三点共线，所以，即，所以为上靠近的三等分点，
显然，但是，故四边形不是菱形，且与不相似，故A、C错误；
因为正四棱锥的侧棱与底面边长关系无法得知，故无法确定，故D错误；
故选：B
2．C
【分析】对三角形和三角形的各边位置关系进行分类讨论，求解出不同情况下的取值，进而得出所有可能取值的种数.
【详解】根据题意可画简图如下,为等边三角形，且都是等腰直角三角形，分类讨论如下：
时， ，此时中，
所以，
此时，
时，，此时中，
,此时，此时;
时，，此时中，
，此时，此时
所以的取值有3种不同情况.
故选：C.
3．B
【分析】根据题意，画出相应的直观图即可求出相应的高即其比值.
【详解】如图，
设正三棱锥的边长为，则四棱锥的边长也为，点为四棱锥底面中心，点为的中点，为底面三角形的中心也为点在底面的投影，
解得，
，于是，
因为为底面三角形的中心，所以
所以
所以.
故选：B
4．C
【分析】由题设易知，设利用正方形、正三角形的性质及勾股定理求出、、，即可知它们的比例关系.
【详解】设四棱锥为，三棱锥为，则三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，显然．
设，正方形的中心为，正三角形的中心为，
连接，，，，则，，
，，即，，
．
故选：C
5．C
【分析】结合已知条件，利用勾股定理列方程，化简求得的长度.
【详解】设，，，由已知得，
又由勾股定理，故，即，
因此可求得，则．
故选：C
6．B
【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．
【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，
所以面角和为，
故总曲率为．
故选：B.
7．D
【分析】利用正棱锥的几何性质可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，正棱锥的高与底面的交点是底面的中心，A对；
对于B选项，在正四棱锥中，设点在底面的射影点为点，如下图所示：
设，，则，，
，则为锐角，
易知等腰三角形中，，、均为锐角，即为锐角三角形，B对；
对于C选项，因为正棱锥的侧棱长相等，故正棱锥的各侧面都是等腰三角形，C对；
对于D选项，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，
则三棱锥的底面是等边三角形，且每个侧面均为等腰三角形，但该三棱锥不是正棱锥，D错.
故选：D.
8．A
【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.
【详解】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.
故选：A
9．BC
【分析】通过线面垂直的判定得出平面ADC，进而，故而可判断A；通过证明是等边三角形可判断B；通过正三棱锥的定义可判断C；通过平面和平面不垂直可判断D.
【详解】∵D为BC的中点，∴，
又平面平面ACD，平面平面ACD=AD，
，平面ABD，
∴平面ADC，又平面ADC，
∴，即，故A不正确；
由A知，平面ADC，平面ADC，
∴，设，则，
∴由勾股定理得：，∴是等边三角形，故B正确；
∵是等边三角形，，
∴三棱锥是正三棱锥，故C正确；
由A知，平面ADC，而面内不存在与平行的直线，
故平面和平面不垂直，
即平面的法向量和平面的法向量互相垂直错误；故D错误；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属于中档题.
10．ABCD
【分析】通过举例判断即可.
【详解】对于A，如图四边形为矩形，所以A正确，
对于B，四面体的每个面都是等边三角形，所以B正确，
对于C，如图四面体的每个面都是直角三角形，所以C正确，
对于D，如图四面体的三个面是直角三角形、一个面是等边三角形，所以D正确，
故选：ABCD
11．BC
【分析】由四棱锥的结构特征进行判断即可
【详解】解：由题意，图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③，
即①②③处可依次写上：新、快、乐，或快、新、乐，
故选：BC
12．BD
【分析】利用棱柱以及棱锥的定义，判断选项的正误即可.
【详解】解：四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形,故A不正确；
长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；
不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；
正四面体一定是正三棱锥，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查棱锥，棱柱的定义的应用，结构特征的判断，是基础题.关键是要准确掌握有关几何体定义.
13．
【分析】根据离散曲率的定义，结合结合体的结构特征，分别求出三棱锥在点A处的离散曲率，四棱锥在点S处的离散曲率n，相减即可求得答案.
【详解】在长方体中, ,
故三棱锥在点A处的离散曲率；
设交于O,连接,，，四边形为正方形，
则 , ,故 ,同理,
四棱锥为正四棱锥，而 ,则四棱锥每个侧面都为正三角形，
所以 ,
故四棱锥在点S处的离散曲率，
故，
故答案为：
14．
【分析】由正三棱锥的性质和已知，可以得出侧面为等腰直角三角形.
【详解】
正三棱锥，所以AB=AC，
又，所以是等腰直角三角形.
所以，也是等腰直角三角形，.
由，所以，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值.
【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示，
则△AED周长为，由于两点之间线段最短，
所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长，
因为，所以，
因为，
所以，
所以截面△AED周长的最小值为，
故答案为：.
16．
【分析】根据正四面体的性质判断投影构成的图形面积的最小时，四面体与面的位置关系，进而求出投影图形的面积.
【详解】根据平面，将平移至面上，
问题化为四面体绕旋转过程中在面上的投影面积最小，
若为中点，连接，且△、△均为等边三角形，则，
又，面，故面，面，
所以，
要使投影构成的图形面积的最小，只需与的中点所成平面与重合，如下图，
此时正四面体在平面上投影为△，而，，
所以最小投影面积为.
故答案为：
17．（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五．
【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状.
【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形，
由截面作法可知，所以截面四边形的周长为.
（2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五.
18．（1）①；②为中点，最大值为；（2），证明见解析.
【分析】（1）①利用线面平行的判定与性质，证出且，从而得到四边形
的两组对边分别平行，即四边形为平行四边形．
②根据线面平行的性质定理，容易得到，同理可得，所以得到，
同理可得到截面的另一组对边，这样便得到截面的两组对边都平行，
即得到截面是平行四边形；
（2）利用平面与平面平行的性质，即可得出结论．
【详解】（1）①证明：平面，平面，平面平面
．
同理可得，可得，同理得到，
四边形为平行四边形．
且， ，①，②，
则①②得，，
，
四边形的周长，
，四边形的周长为；
②与所成角为，
平行四边形中或，
为平行四边形，令，
，
，
当时，即为中点时，截面面积最大，最大值为；
（2）当截面无限接近底面时，可得，证明如下：
由题意，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱，，交于，，与交
于点，
，，，
，，，
．