8.1.1棱柱 能力冲刺练习（含解析）

第八章8.1.1棱柱能力冲刺--人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角梯形
C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形
2．在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．一个棱长为1的正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（ ）种不同的值
A．1 B．2 C．3 D．4
4．、两个动点从棱长为的正方体的顶点出发沿棱向前运动.动点运动的路线是，运动规则如下：第段与第段（其中是正整数）所在直线一定是异面直线.动点运动的路线是，它和点具有相同的运动规则.那么动点运动完段、动点运动完段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点、的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，棱长为4，为的中点，点在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．10
7．如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角梯形
C．正五边形 D．边长不相等的六边形
10．在正方体中，Q是棱上的一个动点，则过A，Q，三点的截面图形可能是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．五边形
11．长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（ ）
A．平面与棱的交点是的三等分点
B．平面与棱的交点是的中点
C．平面与棱的交点是的三等分点
D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为
三、填空题
13．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为___________.
14．在一个的长方体黑盒内，每个面的内壁都装有平面镜，八个角均凿了小孔，一束激光从某个孔射入，入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同，则该束光线经过______次反射后穿出盒外.
15．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____．
16．正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号
①不可能是菱形；
②可能是五边形；
③时，的面积为；
④时，将棱截成长度比为的两部分.
四、解答题
17．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观 结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.
“十字”捆扎 “对角”捆扎
假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2 高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上.
(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度；
(2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议.
18．已知正方体的棱长为2，P是该正方体棱上一点. 若满足的点P的个数，求的表达式.
参考答案：
1．C
【分析】根据正方体的截面分析得到答案.
【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A错误；
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.
故B错误；
对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.
故C正确；
对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误.
故选：C
2．C
【分析】延长，分别交与的延长线于，可得截面过、、，再根据直线与面面相交的性质，分别确定截面与各棱的交点位置，进而确定截面的形状即可.
【详解】因为，故为的中点.又为正方体，故可延长，分别交与的延长线于，设直线分别交于，易得过点、、的面即平面.
因为为中点，且，故，，，所以，故，即.又，故.又为的中点，同理可得，故，所以，，故在线段内.
连接交于，综上可知点、、截正方体的截面为五边形.
故选：C
3．C
【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别讨论在轴方向上的运动距离，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果.
【详解】因为不能与棱相碰，所以粒子在x，y，z每个方向上的运动路程都不会为0，否则就会在面上运动，必然与棱相碰. 其次，只看x方向上运动(y , z方向同理，因为正方形有对称性)，
如果碰撞0次，那么就是运动了1，如果碰撞1次，就是运动了2，以此类推，在x方向上碰撞了n次最后出射的时候在该方向的运动距离就是(n+1)，相当于多运动了n. 题目中经过3次碰撞，可以先从碰撞0次入手，3个方向上的位移就是1，1，1(不能与棱相碰)，现在碰撞3次，也就是在某个方向上要加距离，每次碰撞则加1：(1)在同一个方向碰撞3次，即距离分别是4，1，1(1，4，1或者1，1，4)，结果是. (2)在一个方向碰撞2次，另外一个方向碰撞一次，即3，2，1(2，3，1或1，2，3)，结果是根号. (3)在三个方向各碰撞1次，即距离分别是2，2，2，结果是.
综上，粒子飞行距离有三种结果. 这三种情况都可以举出实际例子∶4,1,1，可以看做从A入射，C处射出；3，2，1可以看做从A入射，D处射出；2，2，2可以看做从A入射，B处射出.
故选：C
4．C
【分析】分析可知点、运动的路线呈现周期性变化，且以段为一个周期，确定动点运动完段后、动点运动完段后，这两个动点的位置，即可求得动点、的距离.
【详解】点运动的路线为，
点运动的路线为，
由上可知，点、运动的路线呈现周期性变化，且以段为一个周期，
因为，，
所以，动点运动完段后与点重合，动点运动完段与点重合，
此时，动点、的距离是.
故选：C.
5．D
【分析】利用空间几何体的特征，将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,然后两点之间线段最短，再利用余弦定理即可得到答案.
【详解】将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,当为线段与的交点时,最小,即最小,则有，
又，所以易得与均为等腰直角三角形,
,
利用余弦定理可知最小值为.
故选：D.
6．A
【分析】作点关于平面的对称点，将点与同侧点距离之和问题转化为相对点距离问题即可.
【详解】如图作点关于的对称点，
，则的最小值为，根据题中数据可知
故选:A
7．A
【分析】可通过确定截面的不同位置去剖开正方体，想象相对应的截面形状，即可确定答案.
【详解】对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开
正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，
因此A图形不可能是截面；
对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，
如图：
此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；
对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，
如图中截面PDGH位置：
截面就会如C图形，故C可能是该几何体的截面；
对于D，如图示，按图中截面 的位置去剖开正方体，截面就会如D图形，
故D可能是该几何体的截面；
故答案为：A
8．D
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求解
【详解】（1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设
（2）当，即为中点时，，，则，
所以过点，，的截面为梯形，不合题设
（3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，，
因为，所以四边形为平行四边形，所以
因为，所以四边形为平行四边形，所以
所以
所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设
（4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接
因为，所以四边形为平行四边形，所以
又，所以
所以过点，，的截面为梯形，不合题设
（5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接
因为，所以四边形为平行四边形，所以
又，所以
所以过点，，的截面为五边形，符合题设
此时，，
所以的取值范围为
故选：D
9．BC
【分析】根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断.
【详解】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A不选.
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.
B选
对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.
C选.
对于D：如果截面经过各个棱的中点，得到的是正六边形，如果与各个棱相交，但不全经过各个棱的中点，得到的是边长不全相等的六边形，故D不选.
故选：BC.
10．ABC
【分析】对于A，当点Q与点重合时判断截面形状，对于B，当点Q与点D重合时判断截面形状，对于C，当点Q不与点D，重合时，延长交延长线于，连接交于，连接，可得截面为梯形，当为的中点时进行判断，对于D，由选项ABC判断.
【详解】对于A，当点Q与点重合时，截面图形为等边三角形，所以A正确；
对于B，当点Q与点D重合时，截面图形为矩形，所以B正确；
对于C，当点Q不与点D，重合时，如图，延长交延长线于，连接交于，连接，因为平面∥平面，平面平面，平面 ，所以∥，所以过A，Q，三点的截面为梯形，当为的中点时，可得，所以，所以为的中点，所以，所以此时梯形为等腰梯形，所以C正确，
对于D，由选项ABC，可知截面图形不可能为五边形，
故选：ABC
11．ABC
【分析】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，以、、为轴展开，分别求可得答案.
【详解】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
12．ACD
【分析】由公理作出平面与正方体的截面，利用平行线截线段成比例可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，
点是线段靠近点的三等分点；再利用等体积法可知，得到平面将正方体分成两部分的体积比为，即可得解．
【详解】解：如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，，
连接并延长交于点，连接，，则四边形就是平面与正方体的截面，
是平面的中心，是中点，，则，
可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，
点是线段靠近点的三等分点，故A正确，B错误，C正确；
作出线段的另一个三等分点，作出线段靠近的三等分点，连接，，，，
可知．
，
从而平面将正方体分成两部分的体积比为，
故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.
【详解】
如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=
故答案为：
14．21
【分析】作出空间直角坐标系，得出三个坐标轴坐标的变化规律，得出光束的路径，进而求出光反射的次数.
【详解】解：由题意，
在的长方体中，
入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同
∴沿对角线入射，
∴各坐标变化规律如下：
建立空间直角坐标系如下图所示：
假设光线从点射入，则光线路径如下：
根据光线路径可知，共经过了21次反射.
∴该束光线经过了21次反射.
故答案为：21.
15．
【分析】由可确定为中点时，最小，取，通过三角形全等可将问题转化为最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果.
【详解】
，当为中点时，取得最小值；
在上取一点，使得，
，，，
；
则当三点共线时，最小，即最小，
此时且，的最小值为.
故答案为：.
16．②③④
【分析】对四个说法逐一分析，画出截面，结合线线平行、点共面等知识确定正确答案.
【详解】①当时，与重合，取的中点，连接，
根据正方体的性质可知，且，
所以截面为菱形，
故①错误；
对于②④，当时，
延长，交的延长线于，连接并延长，交于，
设，连接，
由于，结合正方体的性质可知，
结合共面可知为截面，
如图所示，
点是的中点，可得，，
与的交点满足，此时是五边形，且将棱截成长度比为的两部分.
故②④正确；
对于③，当时，根据正方体的性质可知，且，
如图所示，为等腰梯形，
可得，，等腰梯形得高为，
则的面积为.
故③正确.
故答案为：②③④
17．(1)
(2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带
【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案.
【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；
（2）
由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.
18．
【分析】由几何直观，点P所在的位置与的值一一对应，根据正方体的对称性，分别讨论点P在:（1）棱、、、；（2）棱、；(3) 棱、;（4）棱、、、时的可能取值，即可汇总得P的个数及对应m的范围.
【详解】由题，由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与的值是一一对应的，先讨论的可能取值：
（1）当点P分别在棱、、、上运动时，如在棱，可得
，其它同理，故此时m的取值范围是；
（2）当点P分别棱、上运动时，如在棱，可得
，其它同理，故此时m的取值范围是；
（3）当点P分别在棱、上运动时，如在棱，可得
，其它同理，故此时m的取值范围是；
（4）当点P分别在棱、、、上运动时，如在棱，可得
，其它同理，故此时m的取值范围是.
综上，点P的个数为可归结为：