4.1 数列的概念 同步练习（含解析）

《第一节　数列的概念》同步练习
知识点1　数列及其相关概念
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
2.(多选)[2022广东揭阳高二期末]下列四个选项中,正确的是(　　)
A.1,3,1,3,…是常数列
B.数列1,0,1,0,…与数列0,1,0,1,…是同一数列
C.数列1,2,3,…可以表示为数列{n}
D.数列的图象是一群孤立的点
知识点2　数列的通项公式及其应用
3.[2022山东烟台高二上期末]若数列{an}的通项公式为an=,则该数列的第5项为(　　)
A. B. C. D.
4.[2022山东潍坊高二下期中]已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的(　　)
A.第9项 B.第10项 C.第11项 D.第12项
5.有一列数:1,2,4,(　　),16,32,….按照规律,括号中的数应为(　　)
A.6　　　 B.8　　　 C.4　　　 D.10
6.[2022广东佛山桂城中学高二下段考]已知数列{an}的前4项依次为,,,,则它的一个通项公式为(　　)
A.an= B.an=
C.an= D.an=
7.(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则(　　)
A.此数列的第20项是200
B.此数列的第19项是182
C.此数列的通项公式为an=
D.84不是此数列中的项
8.[2022河北唐山高三上开学考试]观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有　　　　个“·”.
9.根据下列数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并作出它们的图象.
(1)an=n-1;
(2)an=sin .
10.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
(1)-1,1,3,5,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.8,0.88,0.888,0.888 8,….
11.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(1)判断0和1是不是数列{an}的项,若是,指出是第几项;若不是,请说明理由.
(2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项,若存在,指出分别是第几项;若不存在,请说明理由.
知识点3　数列的递推公式
12.已知数列{an}满足a1=1,an=1+(n≥2且n∈N*),则这个数列的第5项是(　　)
A.2 B. C. D.
13.[2022江苏省苏州实验中学高二月考]如图,九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具.在某种玩法中,按一定规则移动圆环,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的最少移动次数,数列{an}满足a1=1,且an=则解下5个圆环所需的最少移动次数为(　　)
A.5 B.10 C.21 D.42
14.传说毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等.如图所示,将所有六边形数按从小到大的顺序排列成数列,前3项依次为1,6,15,则此数列的递推公式可以是(　　)
A.an+1=an+4n-3
B.an+1=an+4n-1
C.an=an-1+4n+1(n≥2)
D.an=an-1+4n-3(n≥2)
15.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=　　　　.
16.[2022江西贵溪市实验中学高二月考]已知数列{an}中,a1=1,an+1=an.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)猜想数列{an}的通项公式.
知识点4　周期数列
17.(多选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-(n∈N*),下列选项中能使an=3的n为(　　)
A.17 B.16 C.8 D.7
18.[2022海南琼海高三模考]已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,则a2 022=(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-4
19.[2022河南濮阳一高高二上期中]函数f(x)由下表定义:
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
若a1=2,an+1=f(an),n=1,2,3,…,则a2 022=　　　　.
知识点5　数列的单调性及其应用
20.[2022河北邢台高二期末]下列通项公式对应的数列是递增数列的是(　　)
A.an=1-n B.an=
C.an=2n2-5n+1 D.an=
21.[2022陕西西安长安一中高二上期末]若an=,则an与an+1的大小关系是(　　)
A.an>an+1 B.anC.an=an+1 D.不能确定
22.已知an=n2+λn,且数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　.
23.[2022广西桂林十八中高二开学考试]已知数列{an}满足下列条件:①是无穷数列;②是递减数列;③每一项都是正数.写出一个符合条件的数列{an}的通项公式:an=　　　　.
24.在数列{an}中,a1=,an+1-an=,则该数列的通项公式an=　　　　　;数列{an}中最小项的值为　　　　.
参考答案
1.C　A,B都是递减数列,D是有穷数列,只有C符合题意.
2.CD
A 1,3,1,3,…是摆动数列.
B 因为两个数列中的数排列次序不同,因此不是同一数列.
C √ 数列1,2,3,…可以表示为{n}.
D √ 由数列是自变量为离散的数的函数可知,数列的图象是一群孤立的点.
3.C　由题知a5=.
4.C　由an=n2+1=122,得n=11(n=-11舍去).
5.B　根据题中规律可知,从第二个数起,每个数是其前一个数的2倍,则括号中的数是8,故选B.
6.A　
7.AC　观察此数列,n为偶数时,an=,n为奇数时,an=,所以此数列的通项公式为an=C正确;a20==200, A正确;a19==180,B错误;a13==84,D错误.故选AC.
8. 111　解析如图,可得第10个图形中“·”的个数为1+11×10=111.
9.解析(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列{an}的前5项依次为-,0,,1,.图象如图1所示.
(2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列{an}的前5项依次为-1,0,1,0,-1.图象如图2所示.
10.(1)因为a1=2×1-3=-1,a2=2×2-3=1,a3=2×3-3=3,a4=2×4-3=5,故an=2×n-3=2n-3.
(2)因为a1=(-1)1×=-,a2=(-1)2×=,a3=(-1)3×=-,a4=(-1)4×,故an=(-1)n×.
(3)所给数列可写成×(1-),×(1-),×(1-),×(1-),…,
所以原数列的一个通项公式为an=(1-).
11.(1)令an=0,得n2-21n=0,
所以n=21或n=0(舍去),所以0是数列{an}的项,是第21项.
令an=1,得=1,该方程无正整数解,
所以1不是数列{an}的项.
(2)方法一　假设存在连续且相等的两项am,am+1,m∈N*,则有am=am+1,
即,解得m=10,
所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
方法二　令f(x)=,则其图象的对称轴为直线x=10.5,所以f(10)=f(11),即a10=a11,所以数列{an}的第10项和第11项相等且连续.
12.D　由题可知a2=1+=2,a3=1+,a4=1+,a5=1+.
13.C　由a1=1,an=得a5=2a4+1=4a3+1=4(2a2+1)+1=8a2+5=16a1+5=21.
14.D　由题意,知a1=1,a2=a1+5,a3=a2+9,a4=a3+13,…,以此类推,an=an-1+4(n-1)+1=an-1+4n-3(n≥2).
15.n　方法一(累加法)　由题意知a2-a1=1,a3-a2=1,…,an-an-1=1(n≥2),
以上各式相加,得an-a1==n-1.
又a1=1,所以an=n(n≥2).
因为当n=1时也满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=n.
方法二(迭代法)　由an+1-an=1,得an=an-1+1=an-2+1+1=an-3+1+1+1=…=a1+=n(n≥2),
因为当n=1时也满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=n.
方法三(归纳法)　a1=1,且an+1=an+1,则a2=a1+1=2,a3=3,a4=4,…,an=n,经检验,符合题意.
16.(1)由题意可得:
a1=1,
a2=a1=×1=,
a3=a2=,
a4=a3=,
a5=a4=.
(2)根据(1)猜想数列{an}的通项公式为an=.
17.BD　由a1=3,an+1=-,得a2=-,a3=-,a4=3,所以数列{an}是以3为周期的数列,所以a7=a16=a1=3.故选BD.
18.D　由题意知an+2=2-an+1-an,则a3=2-a2-a1=-4,a4=2-a3-a2=2,a5=2-a4-a3=4,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 022=a674×3=a3=-4.
19.1　解析由题意,知a1=2,a2=1,a3=4,a4=5,a5=2,则数列{an}以4为周期,所以a2 022=a4×505+2=a2=1.
20.C
A 对应数列是递减数列.
B
C √ an+1-an=4n-3>0,对应数列是递增数列.
D 因为a2=5,a3=4,所以对应数列不是递增数列.
21.B　因为an==3-,所以an+1-an= (3-)-(3-)=>0,即an22.(-3,+∞)　解析 方法一　因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,所以λ>-3.
方法二(图象法)　该数列的图象是二次函数y=x2+λx图象上的一些点,根据对称性和单调性,知-,解得λ>-3.
23.(答案不唯一)　解析符合条件的数列有:{},{},{},….(注:求解此题可先寻找满足条件②的常见数列,再验证是否满足条件①③.)
24.　　解析由题意知,an+1-an=().当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=()+()+…+(1-)+(1-)+.当n=1时,也满足该式,故该数列的通项公式an=.由an=1-,结合反比例函数的单调性可知,当n≥1时,数列{an}为递增数列(或由an+1-an=>0,得an+1>an,亦知数列{an}为递增数列),故数列{an}中最小项的值为a1=