6.4.1平面几何中的向量方法课后检测
一、单选题
1. 在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
【解析】由＋＝0，得＝－＝，
∴四边形ABCD为平行四边形.
由·＝0知，对角线互相垂直，
故四边形为菱形.
2. 在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为( )
A. B.2
C.5 D.10
【解析】∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝10.
3. 在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A.2 B.1
C. D.4
【解析】∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，
＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.
∴||＝1.
4. 已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
【解析】∵＝＝－，
∴－＝(－)，
∴＝.故选B.
5. 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为( )
A．1 B．
C． D．
【解析】如图，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·＝||2＋||||·cos60°－||2＝1＋||－||2＝1.所以||＝，即AB＝.
6. 已知向量a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A． B．2
C．2 D．4
【解析】因为a＝(－1，)，所以|a|＝＝2。设AB中点为C，则＝(＋)＝a，则||＝|a|＝2。在直角三角形AOB中，||＝2||＝4，所以S△AOB＝×4×2＝4.故选D.
二、多选题
7. 在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式成立的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
【解析】·＝·(＋)
＝2＋·＝2＝||2，A正确；
同理||2＝·成立，B正确；
·为负值，C错误；
又＝
＝＝||2，D正确．故选ABD．
8. 点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·(－)＝0，则点O为△ABC的垂心
C.若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
【解析】选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2·，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．
选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量和，记它们的差是向量，则当·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．
选项C，＋是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而||是该平行四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．
选项D，由·＝·得·－·＝0，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥.同理可证⊥，⊥.所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．
三、填空题
9. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________。
【解析】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1)。因为E，F分别为BC，CD的中点，所以E，F(1,1)，所以＋＝，＝(－2,1)，所以(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
10. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________.
【解析】因为点O是AB的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)。所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝22－.所以当x＝时，(＋)·取最小值－.
11. 如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．
【解析】设AB的中点是D.
因为＋＝2＝－，
所以＝－，
所以P为CD的五等分点，
所以△ABP的面积为△ABC的面积的.
解答题
12. 如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
【解析】(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
所以＝(1，1)，＝(－3，3).
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，所以AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝.
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4).
又因为＝(1，1)，所以解得
所以点C的坐标为(0，5).所以＝(－2，4).
又＝(－4，2)，所以||＝2，||＝2，
·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
13. 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，求使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值．
【解析】∵＝－，
∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2－(x－1)，
∵A，B，C三点共线，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
当x＝0时，x2＋x＋＝0，＝0，
此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1.
14. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解析】(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∵cos θ＝＝
＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.6.4.1平面几何中的向量方法课后检测
一、单选题
1. 在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
2. 在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为( )
A. B.2
C.5 D.10
3. 在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A.2 B.1
C. D.4
4. 已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
5. 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为( )
A．1 B．
C． D．
6. 已知向量a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A． B．2
C．2 D．4
二、多选题
7. 在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式成立的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
8. 点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·(－)＝0，则点O为△ABC的垂心
C.若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
三、填空题
9. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________。
10. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________.
11. 如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．
解答题
12. 如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
13. 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，求使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值．
14. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
