6.4.3第1课时余弦定理课后检测
一、单选题
1. 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
【解析】由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
2. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【解析】∵b2＝ac，B＝60°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.
又B＝60°，∴△ABC为等边三角形.
3. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝( )
A. B.
C.－ D.－
【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝102＋152－2×10×15·cos 60°＝175，∴c＝5.
∴cos B＝＝＝.
4. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A.19 B.14
C.－18 D.－19
【解析】设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7，
∴·＝||·||·cos(π－B)
＝－ac·cos B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)
＝(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.
5. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
【解析】由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝。因为向量与的夹角为180°－∠ABC，所以·＝||||cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
6. 在△ABC中，若cos2＝，则△ABC是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】因为cos2＝，所以＝，所以cosB＝，所以＝，所以a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形.
二、多选题
7. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝2，c＝2，cosA＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b8. 在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
三、填空题
9. 在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
【解析】由题意，得a＋b＝5，ab＝2.
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
10. 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋2c＝4c cos2，则＋的最小值为________．
【解析】由余弦定理得a＋b＋2c＝2c(1＋cosB)＝2c＋2c×＝2c＋，
所以ab＋b2＝c2，则＝＝＋1，
所以＋＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立所以＋的最小值为3.
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________．
【解析】因为3b cos C＝3a－c，且A＝C，
可得a＝c，3b·＝3a－c，
整理解得a＝c＝b，
所以cos A＝＝＝，
可得sin A＝＝.
解答题
12. 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
【解析】由余弦定理的推论得：
cos A＝＝＝，
设所求的中线长为x，由余弦定理知：
x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
则x＝7.
所以所求中线长为7.
13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
【解析】(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.
所以＝，即cos B＝.
(2)因为b＝，cos B＝，
由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又a＋c＝2b＝2，
所以13＝52－ac，解得ac＝12.
14. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
【解析】(1)因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以2cos A＝1，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，
所以()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又因为b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
所以
所以b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．6.4.3第1课时余弦定理课后检测
一、单选题
1. 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
2. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
3. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝( )
A. B.
C.－ D.－
4. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A.19 B.14
C.－18 D.－19
5. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
6. 在△ABC中，若cos2＝，则△ABC是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二、多选题
7. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝2，c＝2，cosA＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
8. 在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
三、填空题
9. 在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
10. 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋2c＝4c cos2，则＋的最小值为________．
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________．
解答题
12. 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
14. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
