7.1条件概率与全概率公式题型总结+跟踪训练
一、知识梳理
1、条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
2、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公式.
二、常用结论
1、计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2、全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
三、常见题型
题型一：条件概率
例1已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
方法总结：条件概率的求法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
跟踪训练
1、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
2、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
3、某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( )
A. B. C. D.
4、设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
5、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝( )
A. B. C.0.33 D.0.1
6、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
7、为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族伟大复兴的百年奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中不正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
8、某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
A． B．
C． D．
9、已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率( )
A． B．
C． D．
10、2021年12月4日是第八个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
11、甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
12、已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法错误的是( )
A．P(B|A)＋P(|A)＝1
B．P(B|A)＋P(B|)＝1
C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B互斥，则P(B|A)＝P(A|B)
13、某学校派甲、乙两同学组成代表队参加市青少年围棋比赛，已知两人平时比赛获胜的概率分别为和，现已知该代表队有人在第一轮比赛中胜出，则甲同学胜出的概率为( )
A. B.
C. D.
14、开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是________.
15、一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
16、已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P(B|A)＝________．
17、由0，1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)＝________．
18、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
19、已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
20、将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
21、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
题型二：全概率公式的应用
例2：某同学第1天午餐时随机选择A，B中的一家就餐，如果第1天去A餐厅，则第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，则第二天去A餐厅的概率为0.8.则该同学第二天去B餐厅的概率为________．
方法总结：利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
跟踪训练
1、盒中有a个红球，b个黑球，随机地从中抽取一个，观察其颜色后放回，并加上其同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. B.
C. D.
2、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为_______．
3、设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．
4、播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率.
5、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
6、某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？7.1条件概率与全概率公式题型总结+跟踪训练（答案）
一、知识梳理
1、条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
2、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公式.
二、常用结论
1、计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2、全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
三、常见题型
题型一：条件概率
例1已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
解：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
方法总结：条件概率的求法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
跟踪训练
1、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( C )
A. B.
C. D.
解：由已知有P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝.
2、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( D )
A. B. C. D.
解：记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，
则P(B|A)＝＝＝.
3、某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( B )
A. B. C. D.
解：设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)＝＝＝.
4、设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( A )
A. B. C. D.
解：P(B|A)＝＝＝.
5、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝( A )
A. B. C.0.33 D.0.1
解：由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝.
6、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)等于( C )
A. B. C. D.
解：由已知得P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
7、为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族伟大复兴的百年奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中不正确的是( D )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
解：对于A，P(A)＝＝，故A正确；对于B，P(AB)＝＝，故B正确；对于C，由选项A，B及条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝，故C正确；对于D，P()＝＝，P(B)＝＝，P(B|)＝＝＝，故D错误．
8、某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( A )
A． B．
C． D．
解：设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)＝＝＝＝.故选A．
9、已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率( C )
A． B．
C． D．
解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件A；“甲解答不正确”为事件B，
则P(A)＝C2×＋C3＝；
P(AB)＝××＝，
∴P(B|A)＝＝.故选C．
10、2021年12月4日是第八个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则P(B|A)＝( D )
A． B．
C． D．
解：∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝＝.故选D．
11、甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为( B )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
解：设事件A为“目标至少被命中一次”，事件B为“甲命中目标”，
则P(A)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8或P(A)＝1－0.4×0.5＝0.8，
P(AB)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＝0.6，
∴P(B|A)＝＝0.75，故选B．
12、已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法错误的是( )
A．P(B|A)＋P(|A)＝1
B．P(B|A)＋P(B|)＝1
C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B互斥，则P(B|A)＝P(A|B)
解：选B.A中，P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A正确；B中，设A，B独立，则P(B|A)＋P(B|)＝2P(B)，而P(B)显然不一定为，故B错误；C中，A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；D中，A，B互斥，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝P(A|B)＝0，故D正确．故选B.
13、某学校派甲、乙两同学组成代表队参加市青少年围棋比赛，已知两人平时比赛获胜的概率分别为和，现已知该代表队有人在第一轮比赛中胜出，则甲同学胜出的概率为( )
A. B.
C. D.
解：选D.设“甲同学胜出”为事件A，“该代表队有人在第一轮比赛中胜出”为事件B，则所求概率为在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
因为P(AB)＝，P(B)＝×＋×＋×＝，
所以P(A|B)＝＝＝.
14、开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是___0.15_____.
解：设Ai表示第i次把芝麻投进方空，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，
即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.
15、一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
解：因为P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
16、已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P(B|A)＝________．
解：由题意可得 n(A)＝CC＝10, n(AB)＝CC＝2，故P(B|A)＝＝＝.
17、由0，1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)＝________．
解：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
18、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为____0.72____.
解：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).
依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
19、已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
解：设A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到红球”，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
20、将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
解：P(A|B)即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝.P(B|A)即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝.
21、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率
P(B|A)＝＝＝.
题型二：全概率公式的应用
例2：某同学第1天午餐时随机选择A，B中的一家就餐，如果第1天去A餐厅，则第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，则第二天去A餐厅的概率为0.8.则该同学第二天去B餐厅的概率为__0.3______．
解：设Ai＝“第i天去A餐厅就餐”，Bi＝“第i天去B餐厅就餐”(i＝1，2)；则Ω＝A1∪B1，A1，B1互斥且P(A1)＝P(B1)＝0.5，
P(B2|A1)＝0.4，P(B2|B1)＝0.2，
所以P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×0.4＋0.5×0.2＝0.3.
方法总结：利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
跟踪训练
1、盒中有a个红球，b个黑球，随机地从中抽取一个，观察其颜色后放回，并加上其同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( C )
A. B.
C. D.
解：选C.设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”则B＝AB＋B，由全概率公式知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝.
2、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为____0.052 5____，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________．
解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05，由全概率公式可得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝，“取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率”就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率，则P(A3|B)＝＝＝＝.
3、设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为____0.868____．
解：设B＝{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的产品}，i＝1，2，则B＝A1B∪A2B，因为第一、二车间生产的成品比例为2∶3，所以P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，
又因为第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，
所以P(B|A1)＝1－0.15＝0.85，P(B|A2)＝1－0.12＝0.88，
所以P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)，
＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
4、播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率.
解 设A＝“在这批种子中任选一颗，长出优质产品”，
Bi＝“从这批种子中任选一颗是第i等种子”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥.
则P(B1)＝95.5%，P(B2)＝2%，P(B3)＝1.5%，P(B4)＝1.0%，P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05.
由全概率公式P(A)＝P(Bi)·P(A|Bi)
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5，
所以从这批种子中任选一颗，长出优质产品的概率是0.482 5.
5、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
解 设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).
为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，
i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，
则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
故P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)
＝P(H1)P(2)P(3)＋P(1)P(H2)·P(3)＋P(1)P(2)P(H3)＝0.36，
P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(3)＋P(H1)P(2)P(H3)＋P(1)P(H2)P(H3)＝0.41，
P(A3)＝P(H1H2H3)
＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飞机被击落的概率为0.458.
6、某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？
解 设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
Bi＝“任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥，根据题意
P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，
由全概率公式，得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5，
故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.031 5.
