专题七 解三角的实际应用问题
1、为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，地面上四个5G中继站A，B，C，D.已知CD＝(＋)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A，B两个中继站的距离是( )
A．4 km B．2 km
C． km D．6 km
3．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
4.如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为( )
A．300 m B．300 m
C．200 m D．275 m
练习与巩固
1、海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
2、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
3．(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(单位：s)的函数，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
4．(2022·苏州模拟)圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为( )
A. B.
C. D.
5．(多选)地面上有两座相距120 m的塔，高塔的高为H m，矮塔的高为h m，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有( )
A．tan ＝ B．H＝90
C．h＝40 D．H＝80
6．(2022·株洲模拟)如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得在四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝，AB＝BC＝
400 m，AD＝250 m，则应开凿的隧道CD的长为________ m.专题七 解三角的实际应用问题
1、为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【解】
如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为．根据平面几何知识可知，，，．∴，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故选：D．
2．如图，地面上四个5G中继站A，B，C，D.已知CD＝(＋)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A，B两个中继站的距离是( )
A．4 km B．2 km
C. km D．6 km
答案 C
解析 由题意可得∠DAC＝75°，∠DBC＝45°.
在△ADC中，由正弦定理得
AC＝＝＝2.
在△BDC中，由正弦定理得
BC＝＝＝＋1.
在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB＝(2)2＋(＋1)2－2×2×(＋1)×＝10，
所以AB＝ km.
3．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
答案 A
解析 如图所示，
由已知条件得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠BCA＝45°.
又AB＝40×＝20(n mile)，
∴由正弦定理可得＝，
解得BC＝＝10(n mile)．
4.如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为( )
A．300 m B．300 m
C．200 m D．275 m
答案 A
解析 ∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴AC＝AB＝200(m)，
又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，
在△AMC中，＝，
∴MC＝＝200 (m)，
∴MN＝MCsin∠MCN＝200sin 60°＝300 (m)．
练习与巩固
1、海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案 D
解析 如图，
在△ABC中，AB＝10 n mile，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°.
由正弦定理得＝，
解得BC＝5 n mile.
2、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而
所以
所以．故选：B．
3．(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(单位：s)的函数，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
答案 BD
解析 设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，依题意可知f(t)的最大值为9，最小值为－3，
所以A＋B＝9，且－A＋B＝－3，
可得A＝6，B＝3.
因为OP每秒钟内所转过的角为＝，
所以f(t)＝6sin＋3，
当t＝0时，f(t)＝0，得sin φ＝－，
不妨取φ＝－，故所求的函数解析式为f(t)＝6sin＋3.
对于A，f(3)＝6sin＋3＝3＋3，即A错误；
对于B，f(1)＝6sin＋3＝3，
f(7)＝6sin＋3＝3，即B正确；
对于C，因为f(t)≥6，
所以6sin＋3≥6，
即sin≥，
所以t－∈，k∈N，
解得t∈[2＋12k,6＋12k]，k∈N，即C错误；
对于D，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)
＝6sin＋3＋6sin＋3＋6sin＋3＝6sin＋6sin＋6sin＋9
＝6＋9，
因为sin＋cos t－sin
＝sin t·cos －cos t·sin ＋cos t－＝0，
所以f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9，为定值，即D正确．
4．(2022·苏州模拟)圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 根据题意，作图．
在△ACD中，∠CAD＝β－α，
由正弦定理得，＝，
则AC＝.
在Rt△ABC中，AB＝AC·sin β＝＝＝.
5．(多选)地面上有两座相距120 m的塔，高塔的高为H m，矮塔的高为h m，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有( )
A．tan ＝ B．H＝90
C．h＝40 D．H＝80
答案 ABC
解析 tan α＝，tan ＝，故A正确；
根据三角函数的倍角公式，
得＝.①
设在O点望高塔塔顶的仰角为β，因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β.
由tan β＝，tan＝，
得＝.②
联立①②，解得H＝90，h＝40，
故B，C正确，D错误．
6．(2022·株洲模拟)如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得在四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝，AB＝BC＝
400 m，AD＝250 m，则应开凿的隧道CD的长为________ m.
答案 350
解析 在△ABC中，因为AB＝BC＝400 m，∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，
即AC＝400 m，∠ACB＝.
又∠BAC＝，∠BAD＝，
所以∠DAC＝∠BAD－∠BAC＝.
在△ADC中，AD＝250 m，AC＝400 m，∠DAC＝，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，
即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cos ，
解得CD＝350 m.
