6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课后检测
一、单选题
1. 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
2. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m
C.2 m D.4 m
3. 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
4. 一艘船以4 km/h的速度，沿与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为( )
A.2 km B.6 km
C.2 km D.8 km
5. 如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
6. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝。已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
A．4海里/时 B．3海里/时
C．2海里/时 D．4海里/时
二、多选题
7. 某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A． B．2
C．3 D．3
8. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地面的坡角为θ，则( )
A．BC＝50(－)米 B．BC＝50(＋)米
C．cosθ＝－1 D．sinθ＝
三、填空题
9. 已知A船在灯塔C北偏东80°，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________.
10. 如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
11. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝____________m.
解答题
12. 如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
13. 空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．
14. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.
(1)求烟囱AB的高度；
(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课后检测
一、单选题
1. 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】由条件及题图可知，A＝B＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m
C.2 m D.4 m
【解析】在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.
由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°
＝42＋42－2×4×4×＝48，
∴AB＝4(m).
3. 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
【解析】在△ADC中，由正弦定理得AD＝＝10(＋1)，
在Rt△ABD中，AB＝ADsin 30°＝5(＋1)(m).
4. 一艘船以4 km/h的速度，沿与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为( )
A.2 km B.6 km
C.2 km D.8 km
【解析】如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，
∠ACD＝60°，
由余弦定理，得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos ∠ACD
＝12＋48－2×2×4×＝36.
解得AD＝6，即该船实际航程为6 km.
5. 如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，所以AC＝＝＝200。在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°。由正弦定理，得＝，得AQ＝＝200。在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200×＝200，故此无人机距离地面的高度为200 m.故选B.
6. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝。已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
A．4海里/时 B．3海里/时
C．2海里/时 D．4海里/时
【解析】因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/时.故选A.
二、多选题
7. 某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A． B．2
C．3 D．3
【解析】由题意得∠ABC＝30°，由余弦定理，得cos30°＝.解得x＝2或x＝.故选AB.
8. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地面的坡角为θ，则( )
A．BC＝50(－)米 B．BC＝50(＋)米
C．cosθ＝－1 D．sinθ＝
【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)米。在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1，所以cosθ＝sin∠BDC＝－1，sinθ＝＝.
三、填空题
9. 已知A船在灯塔C北偏东80°，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________.
【解析】在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3 km，AC＝2 km.设BC＝a km.
由余弦定理，得cos ∠ACB＝，
即cos 120°＝，
解得a＝－1或a＝－－1，
即B到C的距离为a＝(－1)千米．
10. 如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200(米).
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos ∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，
所以AC＝100(米).
故石竹山这条索道AC长为100米．
11. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝____________m.
【解析】根据图示，AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝，
所以AM＝100 m.
在Rt△AMN中，＝sin 60°，
所以MN＝100×＝150(m).
解答题
12. 如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
【解析】由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km.
在△BCD中，由余弦定理，得
cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cos α＝，sin α＝.
在△ACD中，由正弦定理＝，
得＝，
所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15 (km)，
即所求的距离为15 km.
13. 空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．
【解析】如图，设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
所以AC＝CD＝x.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CB＝＝x.
在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，
所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，
所以x＝38(m)．所以气球的高度为38 m.
14. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.
(1)求烟囱AB的高度；
(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
【解析】(1)设AB的高度为h米，
在△CAB中，∠ACB＝45°，有CB＝h米．
在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，
可得OB＝h米，EB＝h米，
由题意得OE＝h－h＝12，
解得h＝6米，故烟囱AB的高度为6米．
(2)由(1)知，在△OBC中，OB＝18米，OC＝12米，CB＝6米，
由余弦定理得cos ∠COB＝，
所以在△OCE中，
CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos ∠COB，
得CE＝4米．
