6.2.4向量的数量积课后检测
一、单选题
1. 已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A.3 B.－3
C.－3 D.3
2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
3. 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A. B.－
C.± D.1
4. 设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
5. 已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
6. 若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
二、多选题
7. 已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则( )
A．|b|＝2 B．a⊥b
C．a·b＝2 D．(4a＋b)⊥b
8. 在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.－＝
B.＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
三、填空题
9. 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
10. 如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
11. 如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于________．
解答题
12. 已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值.
13. 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
14. 已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？6.2.4向量的数量积课后检测
一、单选题
1. 已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A.3 B.－3
C.－3 D.3
【解析】由数量积的定义，得
a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B.
2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
【解析】由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)，故选B.
3. 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A. B.－
C.± D.1
【解析】∵3a＋2b与λa－b垂直，
∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
∴λ＝.
4. 设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
【解析】由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得
|a＋b|＝|b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2，
∴2a·b＝－|a|2，
则2|a||b|cos θ＝－|a|2，∴cos θ＝－.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
5. 已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
【解析】由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5×cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
6. 若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
【解析】因为(a＋2b)·(a－3b)＝－72，所以a2－a·b－6b2＝－72，所以|a|2－|a||b|·cos60°－6|b|2＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0。又因为|a|≥0，所以|a|＝6.
二、多选题
7. 已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则( )
A．|b|＝2 B．a⊥b
C．a·b＝2 D．(4a＋b)⊥b
【解析】由条件可得：b＝－＝，
所以|b|＝||＝2，A正确；
a＝，与不垂直，B错误；
a·b＝·＝－2，C错误；
4a＋b＝＋＝，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以(4a＋b)⊥b，D项正确．
8. 在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.－＝
B.＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
【解析】A项，－＝，所以A不正确；B项，＋＋CA＝＋＝0，故B正确；C项，因为(＋)·(－)＝2－2＝0，所以2＝2，所以||＝||.即在△ABC中，AB＝AC，故△ABC为等腰三角形，故C正确；D项，·＝||||·cosA>0，则A必为锐角，△ABC的形状不确定，故D不正确.
三、填空题
9. 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
【解析】a·b＝|a||b|cos 45°＝4|b|cos 45°＝2|b|，
又·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，
解得|b|＝或|b|＝－(舍去).
b在a上的投影向量的模为||b|cos 45°|
＝cos 45°＝1.
10. 如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
【解析】设＝a，＝b，
则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，
则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.
11. 如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于________．
【解析】因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos 150°＝－.
解答题
12. 已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值.
【解析】(1)因为(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，又|a|＝1，所以|b|2＝，所以|b|＝.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，
所以a与b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|＝
＝
＝ ＝，
|a＋b|＝＝
＝ ＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，
则cosα＝＝＝.
所以a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
13. 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
【解析】(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，
所以|a－b|＝.
14. 已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
【解析】(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
所以λ＝.
