6.2.3向量的数乘运算课后检测
一、单选题
1. 在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
2. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
3. 已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
4. 设M为 ABCD对角线的交点，O为 ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝( )
A. B．2
C．3 D．4
5. 在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝，b＝，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
6. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
二、多选题
7. 已知实数m，n和向量a，b，下列说法正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
8. 已知向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点不共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线
三、填空题
9. 若|a|＝m，b与a方向相反，|b|＝2，则a＝______b.
10. 已知2a－b＝m，a＋3b＝n，那么a，b用m，n可以表示为a＝________，b＝________．
11. 已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．
解答题
12. 已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
13. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
14. 已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，求证：C，D，E三点共线．6.2.3向量的数乘运算课后检测
一、单选题
1. 在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
【解析】∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝.
2. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
【解析】如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)
＝×2＝.
3. 已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线.
4. 设M为 ABCD对角线的交点，O为 ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝( )
A. B．2
C．3 D．4
【解析】因为O为任意一点，所以不妨把A点看成O点，则＋＋＋＝0＋＋＋，因为M是 ABCD对角线的交点，所以0＋＋＋＝2＝4.故选D.
5. 在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝，b＝，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
【解析】因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝a＋b，所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.故选A.
6. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
【解析】∵△DEF∽△BEA，
∴＝＝，∴DF＝AB＝DC，
∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
二、多选题
7. 已知实数m，n和向量a，b，下列说法正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
【解析】易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确.
8. 已知向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点不共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线
【解析】易知A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，由＝a＋5b，＝＋＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b，知＝，所以A，B，D三点共线。又＝＋＝－a＋13b，＝3(a－b)，所以不存在实数λ，使＝λ，所以A，C，D三点不共线.
三、填空题
9. 若|a|＝m，b与a方向相反，|b|＝2，则a＝______b.
【解析】因为2|a|＝m|b|，a与b方向相反，所以a＝－b.
10. 已知2a－b＝m，a＋3b＝n，那么a，b用m，n可以表示为a＝________，b＝________．
【解析】由2a－b＝m，可得2a－m＝b，
代入a＋3b＝n可得a＋3(2a－m)＝n，
解得a＝m＋n，代入2a－m＝b可得b＝－m＋n.
11. 已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．
【解析】因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.
解答题
12. 已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
【解析】(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
13. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
【解析】(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
14. 已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，求证：C，D，E三点共线．
【解析】(1)因为＝a，＝b，
所以＝＋＝－a－b，
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.
(2)因为＝－＝(－b)＋a＋b
＝a＋b＝，所以与共线，
又因为与有公共点C，所以C，D，E三点共线．
