6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课后检测
一、单选题
1. 如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
2. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝( )
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
3. 已知两点A(4，1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是( )
A.(1，5) B.(－3，4)
C.(－1，－5) D.(4，－3)
4. 已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A. B.
C. D.
5. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
6. 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为( )
A．m＝ B．m≠
C．m≠ D．m≠
二、多选题
7. 下面几种说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
8. 已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
三、填空题
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，＝(2，－3)，则点D的坐标为________．
10. 已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．
11. 已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．
解答题
12. 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
13. 已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
14. 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标.
(2)若＋＋＝0，求的坐标.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课后检测
一、单选题
1. 如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
【解析】记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，
所以＝－＝2i－j.
2. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝( )
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
【解析】在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).
又＝(－1，2)，
所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，
所以＋＝(－2，4)，故选A.
3. 已知两点A(4，1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是( )
A.(1，5) B.(－3，4)
C.(－1，－5) D.(4，－3)
【解析】设C(x，y)，则＝(x－4，y－1).
又＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，＋＝0，
∴(3，－4)＋(x－4，y－1)＝(0，0)，
∴∴∴C(1，5).
4. 已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A. B.
C. D.
【解析】因为与同向的单位向量为，＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，||＝＝5，所以＝.故选A.
5. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
【解析】由题意得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6).故选D.
6. 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为( )
A．m＝ B．m≠
C．m≠ D．m≠
【解析】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线。因为＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，所以3(1－m)≠2－m，即m≠，所以m≠.
二、多选题
7. 下面几种说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，其余正确.
8. 已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
【解析】只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
三、填空题
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，＝(2，－3)，则点D的坐标为________．
【解析】设点D的坐标为(x，y)，
则＝－＝(x－2，y－4)＝(2，－3)，
即，解得x＝4，y＝1；
所以点D的坐标为(4，1).
10. 已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．
【解析】易得＝(2，0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等得解得x＝－1.
11. 已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．
【解析】设P点坐标为(x，y)，因为P在直线AB上，且||＝||.
所以P是线段AB的中点，＝.
所以(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
所以解得.
所以P点坐标为(1，－1).
解答题
12. 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
【解析】正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
所以C(1，)，D，
所以＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
13. 已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
【解析】设P点坐标为(x，y).
当P在线段AB上时，＝.
∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(1，－1).
当P在线段AB延长线上时，＝－.
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，
∴此时无解.
同理，当P在线段BA延长线上时，不合题意.
综上所述，点P的坐标为(1，－1).
14. 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标.
(2)若＋＋＝0，求的坐标.
【解析】(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3).
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
